Exercices
8 1
1) Montrer que pour x réel tendant vers + CO, la fonction
f (x) = (X cos2x + sin2x)e
est monotone, mais n'est pas comparable à ex', ni faiblement comparable à xx exa.
2) Soit cp une fonction strictement positive, définie et croissante pour x > O et telle que
cp %- 1.
a) Montrer que si la fonction log cp(x)/log x est croissante, la relation f 4 g entre fonctions > O
entraîne cp 0 f « cp 0 g si g % 1.
b) Donner un exemple où log p(x)/log x est décroissante, f et g sont deux fonctions >O
telles que g % 1 et f N g, mais cp of n'est pas équivalente à cp o g.
8 3) a) Soient (a,, pi) n couples distincts de nombres réels O, distincts de (O, O) et tels que
inf a, = inf pi = O. O n considère l'équation
i
i
où les a, sont des nombres réels # O, les cpl des fonctions continues dans un carré O < x < a,
O < y < a, et tendant vers O lorsque (x, y) tend vers (O, O). O n suppose qu'il existe une
fonction g positive et continue dans un intervalle (O, b), tendant vers O avec x et telle que
f (x, g(x)) = O pour tout x E (O, b). Pour tout nombre réel p > O, montrer queg(x)/x" tend
vers une limite finie ou infinie lorsque x tend vers O (utiliser V, p. 8, prop. 9, en considérant,
pour tout nombre t 2 0, l'équation f (x, txu) = 0).
b) Pour que g(x)/xU tende vers une limite finie et
O, il est nécessaire que p soit tel qu'il
existe a u moins deux couples distincts (cch7 ph) et (ak, PL) tels que ah + pPh = uk + pPk et
que, pour tout autre couple (cc1, pl), on ait cc, + & 2 ah + pPh. O n obtient ainsi un nombre
fini de valeurs possibles pi (1 < j , i r); les nombres - l / p j sont les pentes des droites affines
du plan R2 contenant au moins deux points de l'ensemble des points (a,, Pi) et telles que tous
les autres points de cet ensemble soient au-dessus de la droite considérée ({(polygone de Newton N).
c ) Soit pl le plus petit des nombres yj. Montrer que g(x)/x"i tend une limitejnie (pouvant
être nulle). (Montrer d'abord qu'on peut toujours supposer que si i et j sont deux indices
distincts, on n'a pas à la fois ai < a, et < P,; en déduire qu'on peut supposer al = 0,
ai > O et pi < Pl pour i # 1; en posant alors g(x) = t(x)xul, montrer que t(x) ne peut pas
tendre vers + CO lorsque x tend vers O.)
d) Déduire de c), par récurrence sur r, qu'il existe un indice j tel que g(x) lx% tende vers une
limite finie et # O lorsque x tend vers O.
§ 3
1) Définir une fonction croissante g, admettant une dérivée continue dans un voisinage de
+CD, telle que g et l/x soient comparables d'ordre 1, mais que x et I/g ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre g'(x) = 1 sauf dans des intervalles suffisamment petits ayant
pour milieux les points x = n (b entier > O) dans lesquels g' prend des valeurs très grandes).
2) Soient f et g deux fonctions > O tendant vers +CO avec x et comparables d'ordre 1 ; si h
est une fonction dérivable, 2 O et croissante pour x tendant vers + co, montrer que hf et hg
sont comparables d'ordre 1.
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1) Montrer que pour x réel tendant vers + CO, la fonction
f (x) = (X cos2x + sin2x)e
est monotone, mais n'est pas comparable à ex', ni faiblement comparable à xx exa.
2) Soit cp une fonction strictement positive, définie et croissante pour x > O et telle que
cp %- 1.
a) Montrer que si la fonction log cp(x)/log x est croissante, la relation f 4 g entre fonctions > O
entraîne cp 0 f « cp 0 g si g % 1.
b) Donner un exemple où log p(x)/log x est décroissante, f et g sont deux fonctions >O
telles que g % 1 et f N g, mais cp of n'est pas équivalente à cp o g.
8 3) a) Soient (a,, pi) n couples distincts de nombres réels O, distincts de (O, O) et tels que
inf a, = inf pi = O. O n considère l'équation
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où les a, sont des nombres réels # O, les cpl des fonctions continues dans un carré O < x < a,
O < y < a, et tendant vers O lorsque (x, y) tend vers (O, O). O n suppose qu'il existe une
fonction g positive et continue dans un intervalle (O, b), tendant vers O avec x et telle que
f (x, g(x)) = O pour tout x E (O, b). Pour tout nombre réel p > O, montrer queg(x)/x" tend
vers une limite finie ou infinie lorsque x tend vers O (utiliser V, p. 8, prop. 9, en considérant,
pour tout nombre t 2 0, l'équation f (x, txu) = 0).
b) Pour que g(x)/xU tende vers une limite finie et
O, il est nécessaire que p soit tel qu'il
existe a u moins deux couples distincts (cch7 ph) et (ak, PL) tels que ah + pPh = uk + pPk et
que, pour tout autre couple (cc1, pl), on ait cc, + & 2 ah + pPh. O n obtient ainsi un nombre
fini de valeurs possibles pi (1 < j , i r); les nombres - l / p j sont les pentes des droites affines
du plan R2 contenant au moins deux points de l'ensemble des points (a,, Pi) et telles que tous
les autres points de cet ensemble soient au-dessus de la droite considérée ({(polygone de Newton N).
c ) Soit pl le plus petit des nombres yj. Montrer que g(x)/x"i tend une limitejnie (pouvant
être nulle). (Montrer d'abord qu'on peut toujours supposer que si i et j sont deux indices
distincts, on n'a pas à la fois ai < a, et < P,; en déduire qu'on peut supposer al = 0,
ai > O et pi < Pl pour i # 1; en posant alors g(x) = t(x)xul, montrer que t(x) ne peut pas
tendre vers + CO lorsque x tend vers O.)
d) Déduire de c), par récurrence sur r, qu'il existe un indice j tel que g(x) lx% tende vers une
limite finie et # O lorsque x tend vers O.
§ 3
1) Définir une fonction croissante g, admettant une dérivée continue dans un voisinage de
+CD, telle que g et l/x soient comparables d'ordre 1, mais que x et I/g ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre g'(x) = 1 sauf dans des intervalles suffisamment petits ayant
pour milieux les points x = n (b entier > O) dans lesquels g' prend des valeurs très grandes).
2) Soient f et g deux fonctions > O tendant vers +CO avec x et comparables d'ordre 1 ; si h
est une fonction dérivable, 2 O et croissante pour x tendant vers + co, montrer que hf et hg
sont comparables d'ordre 1.