No 6
CORPS DE HARDY. FONCTIONS ( H )
FVR V.47
Au cas traité dans la prop. 5 de V , p. 45, se ramène le cas plus général suivant:
la fonction y = u ( x ) est supposée satisfaire à la relation
où cp est une fonction ( H ) , + une fonction ( H ) telle que + » 1 et que la fonction
réciproque 0 de + soit aussi une fonction (H), et g une fonction (H) telle que
g « +. Soit alors v(x) la fonction réciproque de x - g(O(x)); on a u = 0 0 v o cp,
et g(O(x)) « x ; si on connaît un développement asymptotique de u grâce à la
prop. 5 de V , p. 45, on en déduira un développement asymptotique de u par
deV, p. 14 à 17.
Exembles. - 1 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction
réciproque v(x) de x5 + x (pour x tendant vers +a) ; en posant x5 = t, on est ramené
à chercher u n développement de la fonction réciproque u(t) de t f t% (pour t tendant
vers + co), c'est-à-dire à appliquer la prop. 5 de V , p. 45, au cas où g(t) = - t%.
Calculons par exemple u2(t) ; on a
1
1
2
u2(t) = t - (t - t%)% = t - t / s + - t-?4 + - t-% + Ol(t-%).
5
25
D'autre part, d'après ( 1 1 ) (V, p. 45)
1
~ ( t )
- u2(t) N --t-% 25
d'où
1
1
U(t) = t - t% + - t-% + - t-% + 02(t-%)
5
2 5
et on en déduit le développement cherché
2 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de
la fonction xllog x; de l'identité x = yllogy, où y = u(x), on tire logx = log y -
log log y; posant z = log y, t = log x, on a t = z - log z, et on est donc ramené à
développer la fonction réciproque u(t) de t - log t ; on a par exemple
log t
(log t)2
u2(t) = t + log (t + log t ) = t + log t + - - 7 + O,
t
2 t
et d'autre part, d'après ( 1 1 ) (V, p. 45)
log t
~ ( t )
- u2(t) N - t2
d'où
u(t) = t + logt + - - -
t
et en revenant au problème initial, on obtient le développement asymptotique
log log x
v(x) = x log x + x log log x + x --- + O Xlog x
(
3
Remarque. - O n notera que deux fonctions ( H ) équivalentes peuvent avoir des
fonctions réciproques non équivalentes, comme le montre l'exemple des deux fonctions log x et 1 + log x.