FVR V.46
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
*PP .
Montrons en second lieu, par récurrence sur n, que lorsque x tend vers
+m,onau, » l,et
En effet, y - y, = g(y) - g(y,-,) = (y - y,-,)gf(z,- ,), où 2,-,appartient à
l'intervalle d'extrémités y et y,-, ; d'après l'hypothèse de récurrence, 2 , - , tend
vers + m avec x, donc gf(z,- , ) tend vers O, ce qui démontre (13). On déduit de
cette relation et de (12) que u(x) - u,(x) « u(x) - x - g(x) « x - u(x), d'où
u,(x) - u(x) et par suite un » 1. Enfin, la relation u(x) - u,(x) « u(x) - x
s'écrit aussi (u(x) - x) - (u,(x) - x ) « u(x) - x, d'où
Pour démontrer (1 1)' remarquons d'abord que, si t(x) est une fonction telle
que t(x) - x - g(x), on a g'(t(x)) - gf(x). En effet, quel que soit E > O, pour x
assez grand, g' est monotone, donc gl(t(x)) est comprise entre gf(x + (1 + ~)g(x))
et (gf(x + (1 - E ) ~ ( x ) ) .
La prop. 4 de V, p. 44, montre donc que gf(t(x)) - g'(x),
pourvu qu'on établisse la relation g « gf/g''. Or, si g est d'ordre infini par rapport
à x, on a (V, p. 40, prop. 2) g"/gf - gf/g, et comme gf « 1, g « g/gf - gf/g"; si g
est d'ordre fini p par rapport à x, on a nécessairement p < 1 ; si p < 1, comme g
n'est pas équivalente à une constante # O, les formules (3) et (4) (V, p. 40)
montrent que g"/gl - k/.x (k constante # O), d'où encore g « gf/g"; enfin si
p = 1, gf est d'ordre O par rapport à x, donc gU/g' « l/x, et par suite on a encore
g « g'lg".
Cela étant, comme 2,-, est compris entre y et y,-,, il résulte de (14) que
Z, - - x - g(x), d'où g'(zn - , ) g' (x) d'après ce qui précède; on a donc
Y - Yn
(Y - yn-i)gr(x)J
d'où (1 1) par récurrence sur n.
Remarques. - 1) Sig est d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction u(x) - un(x) tend vers
O avec l/x dès que n est assez grand. En effet, dans le cas contraire, on aurait ggfn » 1
pour tout n, donc g serait d'ordre infini par rapport à I/g'; autrement dit, on aurait
log Igl »log Ig'l, d'où en derivant g'/g »g"/g'. Mais, si g est d'ordre < 1 par rapport
à x, on a gT/g N g"/gf lorsque p = - m, - - - EL - '" lorsque y f O et enfin
s EL-lg'
g'/g « gr'/g' lorsque p = O (V, p. 40, no 3).
Par contre, si g est d'ordre 1 par rapport à x, on pcut avoir ggrn » 1 pour tout entier
n > O, comme le montre l'exemple g(x) = xllog x.
2) Lorsque g(x) est une fonction (H) équivalente à une constante k # O, on a
g(x) = k + g,(x), avec g, « 1; la fonction ul(x) = u(x) - k est fonction réciproque
de x - g,(x + k), et on est ramené au cas traité dans la prop. 5 de V, p. 45.
Pour avoir un développement asymptotique de la fonction u, il suffit donc
d'avoir un tel développement pour la fonction un: si g admet un développement
asymptotique par rapport à l'échelle considérée, on est ainsi ramené (en vertu
de la définition des fonctions (PI)) aux problèmes examinés dans V, p. 14 à 17.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
*PP .
Montrons en second lieu, par récurrence sur n, que lorsque x tend vers
+m,onau, » l,et
En effet, y - y, = g(y) - g(y,-,) = (y - y,-,)gf(z,- ,), où 2,-,appartient à
l'intervalle d'extrémités y et y,-, ; d'après l'hypothèse de récurrence, 2 , - , tend
vers + m avec x, donc gf(z,- , ) tend vers O, ce qui démontre (13). On déduit de
cette relation et de (12) que u(x) - u,(x) « u(x) - x - g(x) « x - u(x), d'où
u,(x) - u(x) et par suite un » 1. Enfin, la relation u(x) - u,(x) « u(x) - x
s'écrit aussi (u(x) - x) - (u,(x) - x ) « u(x) - x, d'où
Pour démontrer (1 1)' remarquons d'abord que, si t(x) est une fonction telle
que t(x) - x - g(x), on a g'(t(x)) - gf(x). En effet, quel que soit E > O, pour x
assez grand, g' est monotone, donc gl(t(x)) est comprise entre gf(x + (1 + ~)g(x))
et (gf(x + (1 - E ) ~ ( x ) ) .
La prop. 4 de V, p. 44, montre donc que gf(t(x)) - g'(x),
pourvu qu'on établisse la relation g « gf/g''. Or, si g est d'ordre infini par rapport
à x, on a (V, p. 40, prop. 2) g"/gf - gf/g, et comme gf « 1, g « g/gf - gf/g"; si g
est d'ordre fini p par rapport à x, on a nécessairement p < 1 ; si p < 1, comme g
n'est pas équivalente à une constante # O, les formules (3) et (4) (V, p. 40)
montrent que g"/gl - k/.x (k constante # O), d'où encore g « gf/g"; enfin si
p = 1, gf est d'ordre O par rapport à x, donc gU/g' « l/x, et par suite on a encore
g « g'lg".
Cela étant, comme 2,-, est compris entre y et y,-,, il résulte de (14) que
Z, - - x - g(x), d'où g'(zn - , ) g' (x) d'après ce qui précède; on a donc
Y - Yn
(Y - yn-i)gr(x)J
d'où (1 1) par récurrence sur n.
Remarques. - 1) Sig est d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction u(x) - un(x) tend vers
O avec l/x dès que n est assez grand. En effet, dans le cas contraire, on aurait ggfn » 1
pour tout n, donc g serait d'ordre infini par rapport à I/g'; autrement dit, on aurait
log Igl »log Ig'l, d'où en derivant g'/g »g"/g'. Mais, si g est d'ordre < 1 par rapport
à x, on a gT/g N g"/gf lorsque p = - m, - - - EL - '" lorsque y f O et enfin
s EL-lg'
g'/g « gr'/g' lorsque p = O (V, p. 40, no 3).
Par contre, si g est d'ordre 1 par rapport à x, on pcut avoir ggrn » 1 pour tout entier
n > O, comme le montre l'exemple g(x) = xllog x.
2) Lorsque g(x) est une fonction (H) équivalente à une constante k # O, on a
g(x) = k + g,(x), avec g, « 1; la fonction ul(x) = u(x) - k est fonction réciproque
de x - g,(x + k), et on est ramené au cas traité dans la prop. 5 de V, p. 45.
Pour avoir un développement asymptotique de la fonction u, il suffit donc
d'avoir un tel développement pour la fonction un: si g admet un développement
asymptotique par rapport à l'échelle considérée, on est ainsi ramené (en vertu
de la définition des fonctions (PI)) aux problèmes examinés dans V, p. 14 à 17.