No 6
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.45
puisque x - q(x) tend vers +m. Reste uniquement à examiner le cas oùpf/p « 1.
Supposons d'abord que p(x) soit d'ordre fini par rapport à x, donc (V, p. 22,
prop. 7) que p' (x)/p(x) « llx. On a alors
- 4b)) - -
1
0,(1), donc
P(x-q(x))
x - d x )
P'b - 4(4) - d x )
4 (4
q(x)p(x-q(x))
-' 0,(1) =
0,(1) et on voit que dans
ce cas la proposition est vraie sous la seule hypothèse q(x) « x. Considérons enfin
le cas où l/x «pf(x)/p(x) « 1; la fonction r = pf/p est alors d'ordre fini par
rapport à x; comme d'après la remarque précédente, la prop. 4 de V, p. 44, est
applicable à une telle fonction, on a Pr(x - q(x))/p(x - q(x)) - pf(x)/p(x), et
l'hypothèse qp' « p permet alors d'achever la démonstration.
Remarque. - Les conditions imposées à q(x) n e peuvent êtrc amkliorées, c o m m e le
montrent les exemples suivants:
a)
P(x)
p(x) = ex,
q(x) = 1 = -,
p(x + q(x)) = e . p b )
fi'(%)
b )
P(x)
f i ( x ) = l o g x ,
q ( x ) = x - l o g x < - = x l o g x ,
P'@)
p ( x - q(x)) = log log x «fi@).
Nous allons d'abord étudier les fonctions réciproques d'un type particulier de
fonctions (13) :
PROPOSITION 5. - Soit g une fonction (13) non équivalente à une constante # O et telle que
g(x) « x, et soit u(x) la fonction réc$roque de x - g(x), déJinie dans un voisinage de +m.
Soit (un) la suite de fonctions dgnie, par récurrence sur n, par les conditions u,(x) = x,
un(x) = x i - g(un-,(x))pourn 2 l;onau,» l'et
Posons y = u(x), yn = uTL(x); on a donc x = y - g(y), y, = x et y, =
g(y)
x + g(yn+ ,). On en tire d'abord x/y = 1 - --; comme y tend vers + co
Y
avec x, l'hypothèse g(x) « x montre que y = u(x) - x = y,; en outre,
où z appartient à l'intervalle d'extrémités x, y; quand x tend vers +KI, il en est
donc de même de z, et comme g(x) « x, gr 4: 1, donc gr(z) tend vers O, et on a par
suite
y - x = g(x) + o(y - x)
d'où