FVR V.44
ÉTUDE LOCALE DES FONCTlONS
*PP6. Fonction réciproque d'une fonction ( H )
Si f est une fonction (H), f est monotone et continue dans un intervalle [xo, + a ( ,
donc la fonction réciproque cp de la restriction de f à cet intervalle est monotone
et continue au voisinage du point a = lim f (x) ; mais, si a est égal à +CD
X + + m
(resp. -CO, fini), on peut montrer que rp(y) (resp. rp(-y), cp
y a - - n'est pas en général égale à une fonction (H) au voisinage de +CO. Toute( t)
fois, nous allons voir que, dans certains cas importants, on peut obtenir une fonction (II) équivalente à rp(y) (resp. Y( -y), rp
et même parfois
un développement asymptotique de cette fonction par rapport à l'échelle 8
définie dans V, p. 43.
Nous utiliserons la proposition suivante :
PROPOSITION 4. - Soient p et q deux fonctions (H) strictement positives dans un intervalle
(xo, +a[.
l0 Sig «p/p1, onap(x + q(x)) - p(x).
2" Si on a à la fois q «plpr et q(x) « X, on ap(x - q(x)) - p(x).
Les deux parties dc la proposition sont évidentes si p - k (constante # O) ;
on peut donc supposer p(x) « 1 (sinon on raisonnerait sur llp). O n en déduit
pf(x) « 1.
lo O n peut écrire p(x + q(x)) = p(x) + q(x)pl(x + 8q(x)) avec O 6 8 6 1
(1, p. 22, corollaire). Comme Ipf(x) 1 tend vers O lorsque x tend vers +a, et est
égale à une fonction (H) dans un voisinage de +a, elle est décroissante dans un
intervalle [xl, + a ( , donc, pour x 3 x,, on a If(x + 6q(x)) ( 6 (pl(x) 1 ; comme
qp' «p, on a bienp(x + q(x)) p(x).
2" La condition q(x) « x assure que x - q(x) tend vers +CO avec x. On
a encore p(x - q(x)) = p(x) - q(x)pl(x - 6p(x)) avec O 6 O < 1. Le même
raisonnement que dans la première partie de la démonstration montre que, pour x
assez grand, on a Ipl(x - Oq(x)) 1 6 ]pt(x - q(x)) 1. Tout revient à montrer que
q(x) ' 3 0 ) tend vcrs O lorsque x tend vers +m. La proposition est vraie
P(x - q ( 4 )
si pl/p > 1, car alors Ipr/$l est une Fonction (M) croissante pour x assez grand,
donc q(x) k t ( x - dx))l 6 q(x) IP'(x)l et on a qp' < p par hypothèse. Elle est
I P ( ~ - q(x))I
IP(x)l'
vraie aussi si p'lp - k (k constante # O), car alors
ÉTUDE LOCALE DES FONCTlONS
*PP6. Fonction réciproque d'une fonction ( H )
Si f est une fonction (H), f est monotone et continue dans un intervalle [xo, + a ( ,
donc la fonction réciproque cp de la restriction de f à cet intervalle est monotone
et continue au voisinage du point a = lim f (x) ; mais, si a est égal à +CD
X + + m
(resp. -CO, fini), on peut montrer que rp(y) (resp. rp(-y), cp
y a - - n'est pas en général égale à une fonction (H) au voisinage de +CO. Toute( t)
fois, nous allons voir que, dans certains cas importants, on peut obtenir une fonction (II) équivalente à rp(y) (resp. Y( -y), rp
et même parfois
un développement asymptotique de cette fonction par rapport à l'échelle 8
définie dans V, p. 43.
Nous utiliserons la proposition suivante :
PROPOSITION 4. - Soient p et q deux fonctions (H) strictement positives dans un intervalle
(xo, +a[.
l0 Sig «p/p1, onap(x + q(x)) - p(x).
2" Si on a à la fois q «plpr et q(x) « X, on ap(x - q(x)) - p(x).
Les deux parties dc la proposition sont évidentes si p - k (constante # O) ;
on peut donc supposer p(x) « 1 (sinon on raisonnerait sur llp). O n en déduit
pf(x) « 1.
lo O n peut écrire p(x + q(x)) = p(x) + q(x)pl(x + 8q(x)) avec O 6 8 6 1
(1, p. 22, corollaire). Comme Ipf(x) 1 tend vers O lorsque x tend vers +a, et est
égale à une fonction (H) dans un voisinage de +a, elle est décroissante dans un
intervalle [xl, + a ( , donc, pour x 3 x,, on a If(x + 6q(x)) ( 6 (pl(x) 1 ; comme
qp' «p, on a bienp(x + q(x)) p(x).
2" La condition q(x) « x assure que x - q(x) tend vers +CO avec x. On
a encore p(x - q(x)) = p(x) - q(x)pl(x - 6p(x)) avec O 6 O < 1. Le même
raisonnement que dans la première partie de la démonstration montre que, pour x
assez grand, on a Ipl(x - Oq(x)) 1 6 ]pt(x - q(x)) 1. Tout revient à montrer que
q(x) ' 3 0 ) tend vcrs O lorsque x tend vers +m. La proposition est vraie
P(x - q ( 4 )
si pl/p > 1, car alors Ipr/$l est une Fonction (M) croissante pour x assez grand,
donc q(x) k t ( x - dx))l 6 q(x) IP'(x)l et on a qp' < p par hypothèse. Elle est
I P ( ~ - q(x))I
IP(x)l'
vraie aussi si p'lp - k (k constante # O), car alors