No 5
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.43
où les cr, sont des nombres réels, nuls sauf pour un nombrc fini d'indices m; il est
immédiat, d'après (5) (V, p. 42), que ccs fonctions forment une échelle de comparaison
quisatisfait aux conditions a), b) et c). Définissons ensuite par récurrence sur n
l'ensemble 8, (pour n 2 1) comme formé de la constante 1 et des fonctions de la
forme exp (SI a, fk), où p est un entier > O arbitraire, fk (1 4 k 4 p) des fonctions de &,_, telles que f, » f2 )*. . . . » f, » 1, et les a, des nombres réels # 0;
montrons par récurrence que 8, est une échelle de comparaison satisfaisant aux
conditions a), b) et c) et contenant 6, - , . En premicr lieu, la relation 8, -, c gn
est vraie pour n = 1, car le logarithme d'une fonction non constante de 8, est de
la [orme 5 akfk, où les f, sont des logarithmes itérés, donc > 1; d'autre part,
k = l
si 8,-, c 6,- ,, on déduit de la définition de 6, que 8, -, 8,; cette défi nition
montre en outrc que bn satisfait à a), 6) et c). Reste à voir que 8 , est une Cchelle
de comparaison: comme le quotient dc deux fonctions de 8, appartient encore à
Q,, il sufit de prouver qu'une fonction f de 8 , autre que la constante 1, ne peut
P
être équivalente à une constante # O. Or on a log f = 2 akfk - a1f1 par
1, = 1
construction, et comme f, » 1, log f tend vers 2 a , donc f tcnd vers O ou vers
+ co lorsque x tend vers +CO.
Cela étant, si 6 est la réunion des 8, pour n 2 0, Q est une Echelle de comparaison, car dcux fonctions de 8 apparticnncnt à une mênic échelle 8,; pour
la même raison, Q satisfait à a ) , et il est clair qu'elle satisfait aussi à 6) et c). Enfin,
si f E 8, il existe n tel que f E 8,; si f n'est pas la constante 1, f (x) tend vers O ou
vers + GO lorsque x tend vers + co ; dans le premier cas, ef - 1, et dans le second,
ef appartient à 8,+, par définition, donc à 8.
Remarque. - Malgré l'utilité pratique de l'échelle & que nous venons de définir,
il cst facile de donner des exemples de fonctions (H) qui n'ontpas departieprincipale
par rapport à 8. En effet, si f est une fonction (H) telle que f ag, où a est une
constante > O et g E 8, log f - log g - log a tend vers O avec l/x, donc log f
admet, relativement à &, un développement asymptotique dont le reste tend uers O,
en vertu de la propriété c). Or, si on considère par exemple la fonction (H)
, on a log f (x) = exp
, donc les développements
asymptotiques de log f par rapport à & sont de la forme
1
ex
II est clair que le reste de ce développement est équivalent à - -
(n + 1) ! xnfl'
donc ne tend pas vers O. Par suite, f n'a pas de partie principale par rapport à 8.
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.43
où les cr, sont des nombres réels, nuls sauf pour un nombrc fini d'indices m; il est
immédiat, d'après (5) (V, p. 42), que ccs fonctions forment une échelle de comparaison
quisatisfait aux conditions a), b) et c). Définissons ensuite par récurrence sur n
l'ensemble 8, (pour n 2 1) comme formé de la constante 1 et des fonctions de la
forme exp (SI a, fk), où p est un entier > O arbitraire, fk (1 4 k 4 p) des fonctions de &,_, telles que f, » f2 )*. . . . » f, » 1, et les a, des nombres réels # 0;
montrons par récurrence que 8, est une échelle de comparaison satisfaisant aux
conditions a), b) et c) et contenant 6, - , . En premicr lieu, la relation 8, -, c gn
est vraie pour n = 1, car le logarithme d'une fonction non constante de 8, est de
la [orme 5 akfk, où les f, sont des logarithmes itérés, donc > 1; d'autre part,
k = l
si 8,-, c 6,- ,, on déduit de la définition de 6, que 8, -, 8,; cette défi nition
montre en outrc que bn satisfait à a), 6) et c). Reste à voir que 8 , est une Cchelle
de comparaison: comme le quotient dc deux fonctions de 8, appartient encore à
Q,, il sufit de prouver qu'une fonction f de 8 , autre que la constante 1, ne peut
P
être équivalente à une constante # O. Or on a log f = 2 akfk - a1f1 par
1, = 1
construction, et comme f, » 1, log f tend vers 2 a , donc f tcnd vers O ou vers
+ co lorsque x tend vers +CO.
Cela étant, si 6 est la réunion des 8, pour n 2 0, Q est une Echelle de comparaison, car dcux fonctions de 8 apparticnncnt à une mênic échelle 8,; pour
la même raison, Q satisfait à a ) , et il est clair qu'elle satisfait aussi à 6) et c). Enfin,
si f E 8, il existe n tel que f E 8,; si f n'est pas la constante 1, f (x) tend vers O ou
vers + GO lorsque x tend vers + co ; dans le premier cas, ef - 1, et dans le second,
ef appartient à 8,+, par définition, donc à 8.
Remarque. - Malgré l'utilité pratique de l'échelle & que nous venons de définir,
il cst facile de donner des exemples de fonctions (H) qui n'ontpas departieprincipale
par rapport à 8. En effet, si f est une fonction (H) telle que f ag, où a est une
constante > O et g E 8, log f - log g - log a tend vers O avec l/x, donc log f
admet, relativement à &, un développement asymptotique dont le reste tend uers O,
en vertu de la propriété c). Or, si on considère par exemple la fonction (H)
, on a log f (x) = exp
, donc les développements
asymptotiques de log f par rapport à & sont de la forme
1
ex
II est clair que le reste de ce développement est équivalent à - -
(n + 1) ! xnfl'
donc ne tend pas vers O. Par suite, f n'a pas de partie principale par rapport à 8.