FVR V.42
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
*PP.
itérées en(x) par les conditions eo(x) = x, en(x) = exp(en - , (x)) pour n > 1. Il est
immédiat, par récurrence sur n, que ln(x) est la fonction réciproque de e,(x),
définie pour x > en-,(O), et que em(en(x)) = em+,(x), lm(ln(x)) = lm+,(x). En
vertu des relations log x < xu « ex pour tout p > O, on a, pour n 3 1
(5)
ln(.) « (ln - l ( ~ ) ) L L
pour tout p > O
pour p > O, cc > O, p > 0, O < y < 1, O < 6 < 1, ces nombres étant par ailleurs quelconques (cf. V, p. 8, prop. 1 1).
Nous avons déjà vu (V, p. 19) que, pour n à 1, on a
O n a de même pour n Z 1
d'où, en vertu de la prop. 8 de V, p. 23, pour tout p > O
O n peut montrer que si f est une fonction ( H ) quelconque telle que f ).- 1, il existe
deux entiers m et n tels que
lm(x) «f (4 « enb)
(V, p. 51, exerc. 1 et 52, exerc. 5). Par contre, on peut definir des fonctions croissantes
g(x) (qui ne sont plus des fonctions ( H ) ) telles que g(x) » e,,(x) pour tout n > O, ou
1 « g(x) « lm(%) pour tout m > O (V, p. 53, exerc. 8,9 et 10).
A l'aide des logarithmes itérés, nous allons montrer qu'on peut définir une
échelle de comparaison (pour x tendant vers + co) & formée de fonctions (H), qui
sont > O dans un voisinage de + m et satisfont aux conditions suivantes:
a) le produit de deux fonctions quelconques de 8 appartient à 8;
b) pour toute fonction f G & et tout nombre réel p, fi" E G;
c) pour toute fonction f E 8 , log f est combinaison linéaire d'un nombre fini
de fonctions de 8;
d ) pour toute fonction f E & autre que la constante 1, ef est équivalente à une
fonction de 8.
m -Considérons d'abord l'ensemble Go des fonctions de la forme
(lm(x))um,
m = O