No 4
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.41
4. Fonctions (H)
PROPOSITION 3. - Si O. est un coqs de Hardy, il existe un corps de Hardy 9, contenant
9, et tel que, pour toute fonction z E O, non identiquement nulle dans un voisinage de +CO,
eZ et log 1 zl appartiennent à P.
Désignons par iY l'ensemble des fonctions f E A?($, R) ayant les propriétés
suivantes: pour chaque fonction f E 9 il existe un nombre fini de corps de Hardy
Pl, O,, . . . , O, (le nombre n et les corps Si dépendant de f ) tels que f E 9, et que,
pour O < i < n - 1, on ait 9 + , = Pi(ui +,), où U, + , est égale, soit à eZi, soit à
log Izil, Z, appartenant à Li et n'étant pas identiquement nulle au voisinage de
+CO. On dit que u,, u,, . . . , un forment une suite de d&nition du corps 9, et de la
fonction f; une même fonction f E P peut naturellement admettre plusieurs
suites de définition.
D'après la déf. 1 de V, p. 36, toute fonction f E 9, non identiquement nulle
dans un voisinage de +CO, garde un signe constant et est dérivable dans un
intervalle (x,, +CO[; si f E P,, 11 f et f ' sont égales à des fonctions de Rn, donc à
des fonctions de 9, dans un voisinage de + GO. Pour voir que P est un corps de
Hardy, il suffit donc de prouver que si f et g sont deux fonctions de P, f - g et fg
sont égales à des fonctions de L dans un voisinage de +CO. O r soit u,, u,, . . . , u,
une suite de définition def, v,, u,, . . . , un une suite de définition de g. La suite u,,
u,, . . . , u, , u,, u2, . . . , v, obtenue par juxtaposition des suites (u,) et (uj) est encore
une suite de définition d'un corps de Hardy @, +. ,
et ce corps contient f et g, donc
f - g et fg sont égales à des fonctions de O,+, dans un voisinage de +CO.
On dira que le corps de Hardy P défini dans la démonstration de la prop. 3
est l'extension (H) du corps de Hardy O,.
Si L' est un autre corps de Hardy possédant les propriétés énoncées dans la prop. 3,
il résulte de la construction de P que O/Rw est contznu dans 9'/Rw. Par abus de langage,
on peut donc dire que l'extension (H) d'un corps de Hardy O. est leplzispetit corps de
Hardy P ayant les propriétés énoncées dans la prop. 3.
DÉFINITION 2. - On appelle corps des fonctions (H) l'extension (H) du corps de Hardy
R(x) des fonctions rationnelles à coejîcients réels. Toute fonction appartenant à cette extension
est dite fonction (H) .
D'après cette définition, si f est une fonction (H) non identiquernent nulle
dans un voisinage de + GO, ef et log 1 f 1 sont aussi des fonctions (H). Plus généralement, si g est une seconde fonction (H), u,, u,, . . . , u, une suite de définition de g,
et si f (x) tend vers +KI avec x, on voit par récurrence sur n que les fonctions
composées U, o f , u2 o f , . . . , un of et g 0 f sont des fonctions (H).
5. Exponentielles et logarithmes itérés
Nous avons déjà (V, p. 19) défini les logarithmes itérés l,(x) par les conditions
lo(x) = x, l,(x) G lo,q(l,-,.(x)) pour n 2 1. On définit dc même les exponentielles
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.41
4. Fonctions (H)
PROPOSITION 3. - Si O. est un coqs de Hardy, il existe un corps de Hardy 9, contenant
9, et tel que, pour toute fonction z E O, non identiquement nulle dans un voisinage de +CO,
eZ et log 1 zl appartiennent à P.
Désignons par iY l'ensemble des fonctions f E A?($, R) ayant les propriétés
suivantes: pour chaque fonction f E 9 il existe un nombre fini de corps de Hardy
Pl, O,, . . . , O, (le nombre n et les corps Si dépendant de f ) tels que f E 9, et que,
pour O < i < n - 1, on ait 9 + , = Pi(ui +,), où U, + , est égale, soit à eZi, soit à
log Izil, Z, appartenant à Li et n'étant pas identiquement nulle au voisinage de
+CO. On dit que u,, u,, . . . , un forment une suite de d&nition du corps 9, et de la
fonction f; une même fonction f E P peut naturellement admettre plusieurs
suites de définition.
D'après la déf. 1 de V, p. 36, toute fonction f E 9, non identiquement nulle
dans un voisinage de +CO, garde un signe constant et est dérivable dans un
intervalle (x,, +CO[; si f E P,, 11 f et f ' sont égales à des fonctions de Rn, donc à
des fonctions de 9, dans un voisinage de + GO. Pour voir que P est un corps de
Hardy, il suffit donc de prouver que si f et g sont deux fonctions de P, f - g et fg
sont égales à des fonctions de L dans un voisinage de +CO. O r soit u,, u,, . . . , u,
une suite de définition def, v,, u,, . . . , un une suite de définition de g. La suite u,,
u,, . . . , u, , u,, u2, . . . , v, obtenue par juxtaposition des suites (u,) et (uj) est encore
une suite de définition d'un corps de Hardy @, +. ,
et ce corps contient f et g, donc
f - g et fg sont égales à des fonctions de O,+, dans un voisinage de +CO.
On dira que le corps de Hardy P défini dans la démonstration de la prop. 3
est l'extension (H) du corps de Hardy O,.
Si L' est un autre corps de Hardy possédant les propriétés énoncées dans la prop. 3,
il résulte de la construction de P que O/Rw est contznu dans 9'/Rw. Par abus de langage,
on peut donc dire que l'extension (H) d'un corps de Hardy O. est leplzispetit corps de
Hardy P ayant les propriétés énoncées dans la prop. 3.
DÉFINITION 2. - On appelle corps des fonctions (H) l'extension (H) du corps de Hardy
R(x) des fonctions rationnelles à coejîcients réels. Toute fonction appartenant à cette extension
est dite fonction (H) .
D'après cette définition, si f est une fonction (H) non identiquernent nulle
dans un voisinage de + GO, ef et log 1 f 1 sont aussi des fonctions (H). Plus généralement, si g est une seconde fonction (H), u,, u,, . . . , u, une suite de définition de g,
et si f (x) tend vers +KI avec x, on voit par récurrence sur n que les fonctions
composées U, o f , u2 o f , . . . , un of et g 0 f sont des fonctions (H).
5. Exponentielles et logarithmes itérés
Nous avons déjà (V, p. 19) défini les logarithmes itérés l,(x) par les conditions
lo(x) = x, l,(x) G lo,q(l,-,.(x)) pour n 2 1. On définit dc même les exponentielles