FVR V.40
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
1
2O si f est d'ordre p > - 1 par rapport à x, Sa f (t) dt N - x f (x).
~ + 1
1
3" si f est d'ordre p < - 1 par rapport à x, Sxf " f (t) dt - -- , + 1 .f(x).
4-O si f est d'ordre - co par rapport à x JX " f (t) dt - - (f ( x ) ) ~ /
f '(x).
O n a en outre la proposition suivante :
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction appartenant à un corps de Hardy R.
1 Sifest d'ord~e znini par rapport à x, on a, pour tout entier n > 0,
2 O Si f est d'ordrejini p par rapport à x, on a, pour tout n > 0,
sauf si p est entier > O et n > p.
l0 Si f est d'ordre infini par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc, puisque
log] f J et log x sont comparables d'ordre q~~elcunquc, f '/ f » llx. Posons g =
f ' 1 f ; comme g est égale à une fonction de 9 dans un voisinage dc +a, on déduit
de l/g « x, que g'/g2 « 1, et par suite gl/g « g = f 'If, ou cncore fg' « gf'. De la
relation f ' = fg, on déduit cn dérivant
f" = f g l + g f ' - gf'
ou encore f "/ f ' - f'lf. Le même raisonnement, appliqué à f (") au lieu de f ,
montre, par récurrence sur n, que f ( " ) / J ( " -
l) - f '/ f ; d'où la relation (2).
2" Si f est d'ordre fini p par rapport à x et si p + O, on a log 1 f 1 - p log x,
f ( 4
d'où, en dérivant, f'(x) - ~ l .
-; on en déduit que fr est d'ordre p - 1 par rapx
port à x, ce qui permet d'appliquer le même raisonnement par récurrence sur n
tant que p, # n, d'où la formule (3) lorsque p n'est pas un entier 3 O ct < n.
Lorsque f est d'ordre entier j~ > O par rapport à x, on peut écrire f (x) = x~'(x),
où f, est d'ordre O par rapport à x. D'après la prop. 2, on a
f'"' "fi! fi.
Pour évaluer les dérivées d'ordre n > fi, on peut donc se borner au cas où fi = 0.
Alors, on a log 1 f 1 d log x, d'où fr(x)/ f (x) « Ilx, autrement dit xf '(x) « f (x); si f
n'est pas équivalente à une constante k # O, on a, en dérivant cette relation (V, p.
22, prop. 7), xf "(x) + f '(x) < f '(x), ce qui signifie que xf "(x) - f '(x). Tenant
compte de cette formule, on voit par récurrence sui- n que fCn) est d'ordre < -n par
rapport à x, et que
Si f est équivalente à une constante k f O, on a f (x) = k + f,(x) avec f, « 1, et
on est ramené à étudier les dérivées de f,.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
1
2O si f est d'ordre p > - 1 par rapport à x, Sa f (t) dt N - x f (x).
~ + 1
1
3" si f est d'ordre p < - 1 par rapport à x, Sxf " f (t) dt - -- , + 1 .f(x).
4-O si f est d'ordre - co par rapport à x JX " f (t) dt - - (f ( x ) ) ~ /
f '(x).
O n a en outre la proposition suivante :
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction appartenant à un corps de Hardy R.
1 Sifest d'ord~e znini par rapport à x, on a, pour tout entier n > 0,
2 O Si f est d'ordrejini p par rapport à x, on a, pour tout n > 0,
sauf si p est entier > O et n > p.
l0 Si f est d'ordre infini par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc, puisque
log] f J et log x sont comparables d'ordre q~~elcunquc, f '/ f » llx. Posons g =
f ' 1 f ; comme g est égale à une fonction de 9 dans un voisinage dc +a, on déduit
de l/g « x, que g'/g2 « 1, et par suite gl/g « g = f 'If, ou cncore fg' « gf'. De la
relation f ' = fg, on déduit cn dérivant
f" = f g l + g f ' - gf'
ou encore f "/ f ' - f'lf. Le même raisonnement, appliqué à f (") au lieu de f ,
montre, par récurrence sur n, que f ( " ) / J ( " -
l) - f '/ f ; d'où la relation (2).
2" Si f est d'ordre fini p par rapport à x et si p + O, on a log 1 f 1 - p log x,
f ( 4
d'où, en dérivant, f'(x) - ~ l .
-; on en déduit que fr est d'ordre p - 1 par rapx
port à x, ce qui permet d'appliquer le même raisonnement par récurrence sur n
tant que p, # n, d'où la formule (3) lorsque p n'est pas un entier 3 O ct < n.
Lorsque f est d'ordre entier j~ > O par rapport à x, on peut écrire f (x) = x~'(x),
où f, est d'ordre O par rapport à x. D'après la prop. 2, on a
f'"' "fi! fi.
Pour évaluer les dérivées d'ordre n > fi, on peut donc se borner au cas où fi = 0.
Alors, on a log 1 f 1 d log x, d'où fr(x)/ f (x) « Ilx, autrement dit xf '(x) « f (x); si f
n'est pas équivalente à une constante k # O, on a, en dérivant cette relation (V, p.
22, prop. 7), xf "(x) + f '(x) < f '(x), ce qui signifie que xf "(x) - f '(x). Tenant
compte de cette formule, on voit par récurrence sui- n que fCn) est d'ordre < -n par
rapport à x, et que
Si f est équivalente à une constante k f O, on a f (x) = k + f,(x) avec f, « 1, et
on est ramené à étudier les dérivées de f,.