No 3
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
F'VR V. 39
identiquement nulle dans un voisinage de +co, 9(l y/") est un corps de Hardy pour tout
nombre réel a.
d
En effet, - (/y]") = ]y)" (qf/y), et ixy'ly est égale à une fonction de 9 dans
dx
un intervalle (x,, + GO(.
Notons enfin que si y est une primitive d'une fonction quelconque de 9, S(y)
est encore un corps de Hardy.
3. Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy
PROPOSITION 1. - Deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy sont comparables
d'ordre quelconque (V, p. 22).
En effet, si f appartient à un corps de Hardy 9, pour tout entier n > O, il
existc un intervalle (x,, + GO( dans lequel f est n fois dérivable, sa dérivée n-ème
étant égale à une fonction de 9 dans cet intervalle. 11 suffit donc de montrer que
deux fonctions quelconquesf, g de 9 sont comparables. C'est évident si l'une d'elles
est identiquernent nulle dans un voisinage de + co ; on peut donc se borner au cas
où elles sont toutes deux strictement positives dans un voisinage de +m. Mais
alors, pour tout nombre réel t, f - tg est égale à unc fonction de 9 dans un voisinage de +GO, donc garde un signe constant dans un voisinage de +GO, ce
qui démontre la proposition (V, p. 8, prop. 9).
On déduit d'abord de cette proposition que, si un corps de Hardy 9 contient
lcs constantes réelles (ce que nous supposerons toujours par la suite), et si f et g
sont deux fonctions quelconques de 9, deux quelconques des fonctions ef, eg,
log 1 f 1, log Igl, 1 f I", /gl" (ix réel quelconque), JaS) Sa g (a réel quelconque dans un
intervalle (x,, +a$ où f et g sont réglées) sont comparables (lorsqu'ellcs sont définies); en effet, deux quelconques de ces fonctions apparticnnent à un même
corps de Hardy obtenu en les adjoignant successivement à @.
De même, toute fonction f (x) d'un corps de Hardy 9 est comparable à x, car x
et f (x) appartiennent au corps de Hardy %(x) obtenu en adjoignant x à 9. On en
conclut donc (en particulier) que f est comparable d'ordre quelconque à toutc
puissance xC", ainsi qu'à log x et à ex.
O n voit aussi que, si f et g appartiennent à un même corps de Hardy 9, si
g(x) > O dans un intervalle Qx, , +a[, et si g(x) tend vers O ou vers + co lorsque x
tend vers +a, l'ordre de f par rapport à g (V, p. 9) est toujours défini.
La prop. 8 de V, p. 23, est donc applicable à toute îonction f d'un corps de
Hardy, et prouve que :
1" si f'est d'ordre -i- co par rapport à x, J' a f (t) dt - (f (x))'/ f ' ( x ) .
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
F'VR V. 39
identiquement nulle dans un voisinage de +co, 9(l y/") est un corps de Hardy pour tout
nombre réel a.
d
En effet, - (/y]") = ]y)" (qf/y), et ixy'ly est égale à une fonction de 9 dans
dx
un intervalle (x,, + GO(.
Notons enfin que si y est une primitive d'une fonction quelconque de 9, S(y)
est encore un corps de Hardy.
3. Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy
PROPOSITION 1. - Deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy sont comparables
d'ordre quelconque (V, p. 22).
En effet, si f appartient à un corps de Hardy 9, pour tout entier n > O, il
existc un intervalle (x,, + GO( dans lequel f est n fois dérivable, sa dérivée n-ème
étant égale à une fonction de 9 dans cet intervalle. 11 suffit donc de montrer que
deux fonctions quelconquesf, g de 9 sont comparables. C'est évident si l'une d'elles
est identiquernent nulle dans un voisinage de + co ; on peut donc se borner au cas
où elles sont toutes deux strictement positives dans un voisinage de +m. Mais
alors, pour tout nombre réel t, f - tg est égale à unc fonction de 9 dans un voisinage de +GO, donc garde un signe constant dans un voisinage de +GO, ce
qui démontre la proposition (V, p. 8, prop. 9).
On déduit d'abord de cette proposition que, si un corps de Hardy 9 contient
lcs constantes réelles (ce que nous supposerons toujours par la suite), et si f et g
sont deux fonctions quelconques de 9, deux quelconques des fonctions ef, eg,
log 1 f 1, log Igl, 1 f I", /gl" (ix réel quelconque), JaS) Sa g (a réel quelconque dans un
intervalle (x,, +a$ où f et g sont réglées) sont comparables (lorsqu'ellcs sont définies); en effet, deux quelconques de ces fonctions apparticnnent à un même
corps de Hardy obtenu en les adjoignant successivement à @.
De même, toute fonction f (x) d'un corps de Hardy 9 est comparable à x, car x
et f (x) appartiennent au corps de Hardy %(x) obtenu en adjoignant x à 9. On en
conclut donc (en particulier) que f est comparable d'ordre quelconque à toutc
puissance xC", ainsi qu'à log x et à ex.
O n voit aussi que, si f et g appartiennent à un même corps de Hardy 9, si
g(x) > O dans un intervalle Qx, , +a[, et si g(x) tend vers O ou vers + co lorsque x
tend vers +a, l'ordre de f par rapport à g (V, p. 9) est toujours défini.
La prop. 8 de V, p. 23, est donc applicable à toute îonction f d'un corps de
Hardy, et prouve que :
1" si f'est d'ordre -i- co par rapport à x, J' a f (t) dt - (f (x))'/ f ' ( x ) .