FVR V.38
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
APPLa proposition est triviale si p(u) a ses coefficients identiquement nuls dans
(x,, +CO(, ou si p(u) est de degré O par rapport à u, puisqu'une fonction de 9
garde un signe constant dans un intervalle (x,, + coq. Supposons que p(u) soit de
degré n > O ; le coefficient dominant c de P(u) est alors f. O dans un intervalle
(a, + CO[; on peut donc écrirep(u) = c(un + clun-l + . . + 6,) où C, cl, c2, . . . , C,
sont des fonctions appartenant à 9 et dérivables dans (a, +CO(; il suffit donc de
démontrer le lemme pour c = 1. Raisonnons alors par récurrence sur n; on a
+ ciyn-l + . . . + 6; = na.P(y) + q ( y )
où q(u) est un polynôme de degré < n - 1, à coefficients dans 9. Par hypothèse,
les fonctions na(x) et q ( y ( x ) ) ne changent pas de signe dans un intervalle (p, +CO(;
le lemme est donc une conséquence du lemme 1.
THÉORÈME 1. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de
Hardy P, y(x) une fonction satisfaisant à (1) dans un intervalle (x,, +CO[. Lorsque
r(u) = p(u)/q(u) parcourt l'ensemble des fractions rationnelles en u à coejicients dans 6
telles que q ( y ) ne soit pas identiquement nulle dans un voisinage de +CO, l'ensemble S ( y )
des fonctions r ( y ) forme un corps de Hardy.
En effet, d'après le lemme 2, il existe un intervalle (x,, + a ( dans lequel
r ( y ) est définie, continue et ne change pas de signe, d'où résulte aussitôt que
S ( y ) / R , est bien un corps; d'autre part, comme
(où r'(y) = ( p l ( y ) q ( y ) - p ( y ) q ' ( y ) ) / ( q ( y ) ) 2 est définie par hypothèse dans un
voisinage de +a), la dérivée de toute fonction de @(y) appartient à @(y), ce
qui prouve que @ ( y ) satisfait aux conditions de la déf. 1 de V, p. 36.
Il est clair que 9( y)/R, s'obtient par adjonction algébrique à @/Ra de la classe de y
modulo R,. On dit encore que @( y) s'obtient par adjonction de y à 9.
COROLLAIRE 1. - Si y est une fonction de 9 non identiquement nulle dans un voisinage de
+ a, @(log 1 y ] ) est un corps de Hardy.
En effet, (log 1 y])' = y'/y est égale à une fonction de 9 dans un intervalle
( ~ 0 ,
+ 4.
COROLLAIRE 2. - Si y est une fonction quelconque de 9, P(eY) est un corps de Hardy.
En effet, (eV)' = eyy', et y' est égale à une fonction de 9 dans un intervalle
(xo, +al.
COROLLAIRE 3. - Si 9 contient les constantes réelles, et si y est une fonction de 6 non
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
APPLa proposition est triviale si p(u) a ses coefficients identiquement nuls dans
(x,, +CO(, ou si p(u) est de degré O par rapport à u, puisqu'une fonction de 9
garde un signe constant dans un intervalle (x,, + coq. Supposons que p(u) soit de
degré n > O ; le coefficient dominant c de P(u) est alors f. O dans un intervalle
(a, + CO[; on peut donc écrirep(u) = c(un + clun-l + . . + 6,) où C, cl, c2, . . . , C,
sont des fonctions appartenant à 9 et dérivables dans (a, +CO(; il suffit donc de
démontrer le lemme pour c = 1. Raisonnons alors par récurrence sur n; on a
+ ciyn-l + . . . + 6; = na.P(y) + q ( y )
où q(u) est un polynôme de degré < n - 1, à coefficients dans 9. Par hypothèse,
les fonctions na(x) et q ( y ( x ) ) ne changent pas de signe dans un intervalle (p, +CO(;
le lemme est donc une conséquence du lemme 1.
THÉORÈME 1. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de
Hardy P, y(x) une fonction satisfaisant à (1) dans un intervalle (x,, +CO[. Lorsque
r(u) = p(u)/q(u) parcourt l'ensemble des fractions rationnelles en u à coejicients dans 6
telles que q ( y ) ne soit pas identiquement nulle dans un voisinage de +CO, l'ensemble S ( y )
des fonctions r ( y ) forme un corps de Hardy.
En effet, d'après le lemme 2, il existe un intervalle (x,, + a ( dans lequel
r ( y ) est définie, continue et ne change pas de signe, d'où résulte aussitôt que
S ( y ) / R , est bien un corps; d'autre part, comme
(où r'(y) = ( p l ( y ) q ( y ) - p ( y ) q ' ( y ) ) / ( q ( y ) ) 2 est définie par hypothèse dans un
voisinage de +a), la dérivée de toute fonction de @(y) appartient à @(y), ce
qui prouve que @ ( y ) satisfait aux conditions de la déf. 1 de V, p. 36.
Il est clair que 9( y)/R, s'obtient par adjonction algébrique à @/Ra de la classe de y
modulo R,. On dit encore que @( y) s'obtient par adjonction de y à 9.
COROLLAIRE 1. - Si y est une fonction de 9 non identiquement nulle dans un voisinage de
+ a, @(log 1 y ] ) est un corps de Hardy.
En effet, (log 1 y])' = y'/y est égale à une fonction de 9 dans un intervalle
( ~ 0 ,
+ 4.
COROLLAIRE 2. - Si y est une fonction quelconque de 9, P(eY) est un corps de Hardy.
En effet, (eV)' = eyy', et y' est égale à une fonction de 9 dans un intervalle
(xo, +al.
COROLLAIRE 3. - Si 9 contient les constantes réelles, et si y est une fonction de 6 non