No 2
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.37
(plus petit corps de caractéristique 0, cf. A, V, $ l), qu'on peut identifier au corps
Q ; d'ailleurs, comme deux constantes ne sont congrues modulo R, que si elles sont
égales, Q/R, est identique à Q. Les constantes réelles forment aussi un corps de
Hardy, qu'on peut identifier à R.
2) Un exemple plus important de corps de Hardy est l' ensemble des fonctions
rationnelles à coe$îcients réels, que nous noterons R(x) par abus de langage; si
f (x) = p(x)/q(x) est une fonction rationnelle à coefficients réels, non identiquement nulle, elle est continue, dérivable et # O dans l'intervalle (a, + a(, où a est
strictement supérieur à la plus grande des racines réelles des polynômes p(x) et
q(x) ; donc tout élément de R(x)/R, autre que O est inversible. On notera encore
que deux fonctions rationnelles ne peuvent être congrues modulo R, que si elles
sont égales, donc R(x)/R, peut encore être identifié à R(x).
2. Extension d'un corps de Hardy
Étant donné un corps de Hardy @, nous allons voir comment on peut former de
nouveaux corps de Hardy 9' 2 9 tels que @'/R, s'obtienne par adjonction à
@/Ra (au sens algébrique du terme, cf. A, V, $ 2) de nouveaux éléments, d'une
forme que nous allons préciser.
Lemme 1. - Soient a(x) , b (x) des fonctions numériques continues et ne changeant pas de
signe dans un intervalle (x,, +a[. Si, dans cet intervalle, la fonction y(x) est continue et
dérivable et vérijie l'identité
il existe un intervalle (x,, + CO( dans lequel y ne change pas de signe.
En effet, posons z(x) = y(x) exp (-!XI, a(t) dt) (cf. IV, p. 22); on a, d'après
(1), Z' (x) = b(x) exp ( - JXo a(t) dt) . Si b(x) 3 O pour x 3 x,, z est croissante dans
cet intervalle, donc, ou bien est < O dans tout l'intervalle, ou bien est nulle dans
un intervalle (x,, +CO(, ou bien est > O dans un intervalle (x,, +GO(; comme y a
le même signe que z, la proposition est démontrée dans ce cas. Raisonnement
analogue si b(x) < O pour x 3 x,.
Remarque. - Cette propriété si élémentaire ne s'étend pas aux équations différentielles linéaires d'ordre > 1 ; par exemple, la fonction y = sin x satisfait à y" + y = 0,
mais change de signe dans tout voisinage de + m.
Lemme 2. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy
9, y(x) une fonction satisfaisant à l'identité (1) dans un intervalle (x,, + a( où a et b sont
d$nies et continues. Si p(u) est un polynôme par rapfort à u, dont les coeficients sont des
fonctions de x appartenant à @, d$nies et dérivables dans (xo, +cm(, il existe un intervalle
(xi, + GO(, dans lequel la fonction p(y) ne change pas de signe.
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
FVR V.37
(plus petit corps de caractéristique 0, cf. A, V, $ l), qu'on peut identifier au corps
Q ; d'ailleurs, comme deux constantes ne sont congrues modulo R, que si elles sont
égales, Q/R, est identique à Q. Les constantes réelles forment aussi un corps de
Hardy, qu'on peut identifier à R.
2) Un exemple plus important de corps de Hardy est l' ensemble des fonctions
rationnelles à coe$îcients réels, que nous noterons R(x) par abus de langage; si
f (x) = p(x)/q(x) est une fonction rationnelle à coefficients réels, non identiquement nulle, elle est continue, dérivable et # O dans l'intervalle (a, + a(, où a est
strictement supérieur à la plus grande des racines réelles des polynômes p(x) et
q(x) ; donc tout élément de R(x)/R, autre que O est inversible. On notera encore
que deux fonctions rationnelles ne peuvent être congrues modulo R, que si elles
sont égales, donc R(x)/R, peut encore être identifié à R(x).
2. Extension d'un corps de Hardy
Étant donné un corps de Hardy @, nous allons voir comment on peut former de
nouveaux corps de Hardy 9' 2 9 tels que @'/R, s'obtienne par adjonction à
@/Ra (au sens algébrique du terme, cf. A, V, $ 2) de nouveaux éléments, d'une
forme que nous allons préciser.
Lemme 1. - Soient a(x) , b (x) des fonctions numériques continues et ne changeant pas de
signe dans un intervalle (x,, +a[. Si, dans cet intervalle, la fonction y(x) est continue et
dérivable et vérijie l'identité
il existe un intervalle (x,, + CO( dans lequel y ne change pas de signe.
En effet, posons z(x) = y(x) exp (-!XI, a(t) dt) (cf. IV, p. 22); on a, d'après
(1), Z' (x) = b(x) exp ( - JXo a(t) dt) . Si b(x) 3 O pour x 3 x,, z est croissante dans
cet intervalle, donc, ou bien est < O dans tout l'intervalle, ou bien est nulle dans
un intervalle (x,, +CO(, ou bien est > O dans un intervalle (x,, +GO(; comme y a
le même signe que z, la proposition est démontrée dans ce cas. Raisonnement
analogue si b(x) < O pour x 3 x,.
Remarque. - Cette propriété si élémentaire ne s'étend pas aux équations différentielles linéaires d'ordre > 1 ; par exemple, la fonction y = sin x satisfait à y" + y = 0,
mais change de signe dans tout voisinage de + m.
Lemme 2. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy
9, y(x) une fonction satisfaisant à l'identité (1) dans un intervalle (x,, + a( où a et b sont
d$nies et continues. Si p(u) est un polynôme par rapfort à u, dont les coeficients sont des
fonctions de x appartenant à @, d$nies et dérivables dans (xo, +cm(, il existe un intervalle
(xi, + GO(, dans lequel la fonction p(y) ne change pas de signe.