APPENDICE
CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)
1. Corps de Hardy
Soit $ la base de filtre sur R constituée par les intervalles de la forme [xo3 +CO(.
Rappelons que, dans l'ensemble A?(& R) des fonctions numériques définies dans
des parties appartenant à $, nous avons défini la relation d'équivalence R,:
a il existe un ensemble M E $ tel que f (x) = g(x) dans M >> (V, p. 2)) et que
l'ensemble quotient S(8, R)/R, est muni d'une structure d'anneau ayant un
élément unité.
DÉFINITION 1. -Étant donné un sous-ensemble BY de Z($, IR), on dit que a/R,
(image canonique de % dans A?(& R)/R,) est un corps de Hardy, si BY satisfait aux
conditions suivantes:
l0 @IR, est un sous-corps de l'anneau Z($, R) IR,.
Z0 Toute fonction de 9 est continue et dérivable dans un intervalle (a, +CO( (dépendant de la fonction), et la classe suivant R, de sa dérivée appartient à %/Ra.
L'hypothèse que BY/ R, est un corps équivaut aux conditions suivantes: si
f E 9 et g E 9, f + g et fg sont égales à des fonctions de 9 dans un ensemble de $;
en outre, si f n'est pas identiquement nulle dans un ensemble de 8, il existe un
ensemble M de 8 dans lequel f ne s'annule pas, 11 f étant égale à une fonction de
BY dans M; d'après la condition 2") on peut toujours supposer M pris tel que f soit
continue dans My et par suite garde un signe constant dans cet intervalle.
Par abus de langage, si BY est tel que @IRm soit un corps de Hardy, nous dirons
dans ce qui suit que R lui-même est un corps de Hardy.
Exemples. - 1) Tout corps de Hardy contient le corps des constantes rationnelles