No 4
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.35
PROPOSITION 8. - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à
partir d'un certain rang, on a
pour un C( > 1, la série (un) est convergente; si, àpartir d'un certain rang, on a
la sérÊe (un) a une somme inJinie.
Exemnfile. - Considérons la sér-ie hypergéonzétrique, de terme général
où or, fi, y sont des nombres réels quelconques, différents des entiers < O; il est clair
que un est > O à partir d'un certain rang, ou < O à partir d'un certain rang. O n a
Le critère de Raabe montre donc que la série est convergente pour cc + P < y,
et a une somme infinie pour or + p > y; lorsque cc + P = y, la série a encore une
somme infinie, comme le montre la prop. 8.
Remarques. - 1) Comme cas particulier d u critère de Raabe, on voit que si
lim-sup u,, + ,/un < 1, la série (un) est convergente; si au contraire lirneinf un+ ,/un > 1,
n- m
n- m
la série a une somme infinie (critére dc d'Alembert).
2) Les critères de seconde espèce ne peuvent s'appliqucr qu'à des séries dont le
terme général se comporte de façon très régulière lorsque n tend vers +oz ; autrement dit, leur champ d'application est bien plus restreint que celui des critères
logarithmiques, et ce serait une rnaladrcsse que de vouloir les utiliser en dehors dcs
cas spéciaux auxquels ils sont particulièrement adaptés. Par exemple, pour la série
(un) définie par u, , = 2-"', u2,+, = 3-m, on a 2 1 2 m + l / ~ 2 m = ($)m,
=
1 3 m
,(z) ; le premicr de ces rapports tcnd vers O ct lc second vers + co lorsque m croît
indéfiniment, donc aucun critère de seconde espèce n'est applicable; cependant,
comme u, < 2 -"12. il est immédiat aue la série est convereente.
." .
"
Même lorsque U , + ~ / U , a une exprcssion simple, une évaluation directe d'une
partie principale de un conduit souvcnt au résultat aussi vite que lcs critères de seconde espèce. Par exemple, pour la série hypergéométriquc, la formule de Stirling
montre aussitôt que un N ana+B-y-,, où a est une constante #O, et le critère logarithmique d'ordre O est par suite applicable.
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.35
PROPOSITION 8. - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à
partir d'un certain rang, on a
pour un C( > 1, la série (un) est convergente; si, àpartir d'un certain rang, on a
la sérÊe (un) a une somme inJinie.
Exemnfile. - Considérons la sér-ie hypergéonzétrique, de terme général
où or, fi, y sont des nombres réels quelconques, différents des entiers < O; il est clair
que un est > O à partir d'un certain rang, ou < O à partir d'un certain rang. O n a
Le critère de Raabe montre donc que la série est convergente pour cc + P < y,
et a une somme infinie pour or + p > y; lorsque cc + P = y, la série a encore une
somme infinie, comme le montre la prop. 8.
Remarques. - 1) Comme cas particulier d u critère de Raabe, on voit que si
lim-sup u,, + ,/un < 1, la série (un) est convergente; si au contraire lirneinf un+ ,/un > 1,
n- m
n- m
la série a une somme infinie (critére dc d'Alembert).
2) Les critères de seconde espèce ne peuvent s'appliqucr qu'à des séries dont le
terme général se comporte de façon très régulière lorsque n tend vers +oz ; autrement dit, leur champ d'application est bien plus restreint que celui des critères
logarithmiques, et ce serait une rnaladrcsse que de vouloir les utiliser en dehors dcs
cas spéciaux auxquels ils sont particulièrement adaptés. Par exemple, pour la série
(un) définie par u, , = 2-"', u2,+, = 3-m, on a 2 1 2 m + l / ~ 2 m = ($)m,
=
1 3 m
,(z) ; le premicr de ces rapports tcnd vers O ct lc second vers + co lorsque m croît
indéfiniment, donc aucun critère de seconde espèce n'est applicable; cependant,
comme u, < 2 -"12. il est immédiat aue la série est convereente.
." .
"
Même lorsque U , + ~ / U , a une exprcssion simple, une évaluation directe d'une
partie principale de un conduit souvcnt au résultat aussi vite que lcs critères de seconde espèce. Par exemple, pour la série hypergéométriquc, la formule de Stirling
montre aussitôt que un N ana+B-y-,, où a est une constante #O, et le critère logarithmique d'ordre O est par suite applicable.