FVR V.34
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
et on tire finalement ( V , p. 16)
Nous démontrerons dans VII, p: 17, qu'on a ek = 4%. La formule ( 5 ) (avec cette
valeur de k) est dite formule de Stzrling. De la même manière, pour tout nombre réel a
distinct d'un entier > O, on démontre que
( 6 )
( a + 1 ) ( a + 2 ) . . .(a $ 12) N ~ ( c z ) n ~ + ~ + S
e-n.
Nous déterminerons également la fonction K(a) ( V I I , p. 18). Des formules (5) et ( 6 )
on tire en particulier
pour tout nombre réel a distinct d'un entier > O, y(a) étant une fonction de a qui
sera précisée dans V I I , p. 18.
4. Application: critères de convergence de seconde espèce pour les séries à termes
positifs
On rencontre assez souvent des séries (un), pour lesquelles un > O à partir d'un
certain rang, et un+&, a un développement asymptotique facile à déterminer.
Il est commode, pour de telles séries, d'avoir des critères (dits critères de seconde
espèce) permettant de déterminer si la série est convergente d'après le seul aspect
de un+ Jun. U n tel critère est le suivant:
PROPOSITION 7 (a critère de Raabe O ) . - Soit (un) une série à termes > O à partir
a
d'un certain rang. Si, à partir d'un certain rang, un + ,/un Q 1 - - pour un a > 1,
n
1
la série (un) est convergente; si à partir d'un certain rang, un+ ,/un 2 1 - -, la série
n
(un) a une somme infinie.
a
En effet, si un+,/u, < 1 - - avec ct > 1, pour tout n B no, on a un n
a
n2
f J (1 - i). or, on a log 1 - - - - - - - + o - , d'où log pn =
( :)- n 2n2 (2
1
-oc log n + k + o(l/n) (k constante), et pn N ek - - comme a > 1, le critère
nQ '
logarithmique d'ordre O permet de conclure.
1
Si au contraire U , + ~ / U , 2 1 - - à partir d'un certain rang, le même calcul
n
1
prouve que un > - d'où la proposition.
n
O n démontrerait de la même manière, en utilisant les critères logarithmiques
d'ordre > O, le critère de seconde espèce suivant: