No 3
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.33
Lorsque le produit infini est convergent, on sait que un tend vers O; on a donc
log(1 + un) - un; or, on sait que, pour qu'une série de nombres réels soit
commutativement convergente, il faut et il suffit qu'elle soit absolument convergente (TG, IV, p. 39, prop. 5) ; en vertu de la prop. 1, on retrouve ainsi que,
pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent,
il faut et il suffit que la série de terme général un soit absolument convergente
(TG, IV, p. 35, th. 4).
Un raisonnement analogue s'applique à un produit infini de facteur général
comjlexe 1 + un (un f - 1). En effet, pour qu'un tel produit soit commutativement
convergent, il faut et il suffit (TG, VIII, p. 16, prop. 2) que le produit infini de
facteur général 11 + uni le soit, et en outre, si 0, est l'amplitude de 1 f un (comprise
entre-x et S n ) , que la série des 0, soit commutativement convergente. Comme u,,
tendalors vers O, log(1 + un) est défini à partir d'une certaine valeur den (III, p. 10) et
on a
log(1 + un) = log Il + uni + ion;
donc, pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent
il faut et il suffit que la série de terme général Ilog(1 + un\ soit absolument convergente (TG, VII, p. 16, th. 1); or log(1 + un) - un (1, p. 26, prop. 5), donc on
retrouve la condition que la série de terme général un soit absolument convergente
(TG, VIII, p. 16, th. 1).
La relation entre produits infinis et séries de nombres réels permet parfois
n
d'obtenir un développement asymptotique du produit partiel!,
=
(1 + uk) ;
k = l
il suffit d'avoir un développement asymptotique de la somme partielle sn =
2 log (1 + u,), puis de développer pn = exp (sn) ; on est donc ramené à deux
1c = 1
problèmes examinés antérieurement (V, p. 28, et p. 16).
Exemfile: formule de Stirling. - Cherchons un développement asymptotique de n!;
on est ramene à développer S . = 5 log j, puis enp(sn). La methode du no 2 donne
p = 1
successivement
puis
1
log n -
log t dt = log n - (n log n - (n - 1) log (n - 1) - 1) - -
Snn- 1
Zn
d'où
sn = nlogn - n + +logn + ~ ( l o g n ) .
On a ensuite
1
log t dt - 12 (log n - log (n - 1)) - -
1 Zn2
d'où
1
sn = n log n - n + -1 log n + k + - + o,($ (k constante)
12n
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.33
Lorsque le produit infini est convergent, on sait que un tend vers O; on a donc
log(1 + un) - un; or, on sait que, pour qu'une série de nombres réels soit
commutativement convergente, il faut et il suffit qu'elle soit absolument convergente (TG, IV, p. 39, prop. 5) ; en vertu de la prop. 1, on retrouve ainsi que,
pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent,
il faut et il suffit que la série de terme général un soit absolument convergente
(TG, IV, p. 35, th. 4).
Un raisonnement analogue s'applique à un produit infini de facteur général
comjlexe 1 + un (un f - 1). En effet, pour qu'un tel produit soit commutativement
convergent, il faut et il suffit (TG, VIII, p. 16, prop. 2) que le produit infini de
facteur général 11 + uni le soit, et en outre, si 0, est l'amplitude de 1 f un (comprise
entre-x et S n ) , que la série des 0, soit commutativement convergente. Comme u,,
tendalors vers O, log(1 + un) est défini à partir d'une certaine valeur den (III, p. 10) et
on a
log(1 + un) = log Il + uni + ion;
donc, pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent
il faut et il suffit que la série de terme général Ilog(1 + un\ soit absolument convergente (TG, VII, p. 16, th. 1); or log(1 + un) - un (1, p. 26, prop. 5), donc on
retrouve la condition que la série de terme général un soit absolument convergente
(TG, VIII, p. 16, th. 1).
La relation entre produits infinis et séries de nombres réels permet parfois
n
d'obtenir un développement asymptotique du produit partiel!,
=
(1 + uk) ;
k = l
il suffit d'avoir un développement asymptotique de la somme partielle sn =
2 log (1 + u,), puis de développer pn = exp (sn) ; on est donc ramené à deux
1c = 1
problèmes examinés antérieurement (V, p. 28, et p. 16).
Exemfile: formule de Stirling. - Cherchons un développement asymptotique de n!;
on est ramene à développer S . = 5 log j, puis enp(sn). La methode du no 2 donne
p = 1
successivement
puis
1
log n -
log t dt = log n - (n log n - (n - 1) log (n - 1) - 1) - -
Snn- 1
Zn
d'où
sn = nlogn - n + +logn + ~ ( l o g n ) .
On a ensuite
1
log t dt - 12 (log n - log (n - 1)) - -
1 Zn2
d'où
1
sn = n log n - n + -1 log n + k + - + o,($ (k constante)
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