FVR V.32
El .
où fl(n) = g(n) -
Sn-, g(t) dt « g(n) d'après la prop. 6 de V, p. 29. Si
on a une partie principale cgl(n) de fl(n) par rapport à &', et si on peut appliquer
de nouveau la prop. 6 à la fonction g,, on obtiendra une primitive équivalente à
m
3 fl(m) si zl gl(n) = +mi équivalente à 2 fl(m) dans le cas contraire
m = 1
m = n + l
n
m
m
(dans ce dernier cas, on écrit ); f1 (m) = C - 2 f,(m), avec C = fl(n)).
m = l
m = n + l
n = l
De proche en proche, on peut obtenir ainsi éventuellement une expression de
s, sous forme de la somme d'un certain nombre de primitives, dont chacune est
négligeable devant la précédente, d'un terme restant négligeable devant la
dernière primitive écrite, et éventuellement d'une constante (cas où le terme
restant tend vers O). Il reste ensuite à développer chacune des primitives obtenues
relativement à 8' (cf. V, p. 25).
1
Exemjde. - Soit g(n) = -; on a
n
puis
1
1
- - (log n - log (n - 1)) N - - Zn2
d'où
La constante y qui s'introduit dans cette formule joue un rôle important en Analyse
(cf. chap. VI et VII) ; elle est connue sous le nom de constante d'Euler; on a
y = 0,577 215 664 ...
à 1/109 près par défaut.
Nous verrons dans VI, p. 20, comment la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
donne, dans les cas les plus importants, un développement asymptotique d'ordre
quelconque de sn (ou de r,) .
3. Développement asymptotique des produits partiels d'un produit infini
On sait (TG, V, p. 14) que, pour que le produit infini de facteur général 1 + un
(un > - 1) soit convergent (resp. commutativement convergent), il faut et il
suffit que la série de terme général log (1 + un) soit convergente (resp. commutativement convergente), et que l'on a alors la relation
log P (1 + un) = s log (1 + un).
n = l
n = l