No 2
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.31
que - E < log Ih(t)/h(n) 1 < E d'après le th. des accroissements finis, si n 2 no,
d'où
Ih(t) - h(n)l < (eL l)h(n)
et par suite
puisque ePt est croissante. Comme eE - 1 est arbitrairement petit avec E, on
voit qu'on peut écrire
étant remplacé par 1 lorsque p = O . La proposition est alors une
1
conséquence de la pmp. 2 de V, p. 27. On raisonne de même lorsque 2 g(n) est
n = l
finie.
Par application répétée de la prop. 6 de V, p. 29, on peut parfois obtenir un
déueloppement asymptotique de sn = 5 g(m). Supposons d'abord que g soit d'ordre
m = l
+CO par rapport à e x ; pour toute valeurjxe dep, on peut écrire, d'après la prop. 6,
et il suffira de développer (relativement à 6') chacune des fonctions g(n - k)
(O < k < p) en limitant la précision de ces développements à la partie principale
de g(n - p), pour avoir un développement de s,.
Exemple. - S o i t g ( x ) = xx = exp ( x l o g x ) , d'ordre + co par rapport à ex. En
prenantp = 2, on a
( n - l ) l o g ( n - 1 ) = ( n - 1 ) l o g n - 1
d'où (V, p. 16)
(fi - 1 ) n - 1 = i n n - 1 + - n n - ~ + ~ , ( n ~ - ~ )
2 e
et de même
1
( n - 2 ) n - 2 = - @ - 2 + ,
, (nn-2
eZ
2
);
par suite
1
5, = nn + - . n - l + - + - n n - 2 + ~ ~ ( n ~ - ~ ) .
e
(2, e:)
On procède de même (pour rn) lorsque g est d'ordre - oo par rapport à e x
Si maintenant g est d'ordre fini p par rapport à ex, et si par exemple 2 g(n) =
n = l
+ CO, on peut écrire