FVR V.30
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
lo Sig est d'ordre infiipar rapport à ex, on a
2" Si g est d'ordrejni p par rapport à ex, on a
I*
devant être remplacé par 1 dans (3) et (4) lorsque p = 0).
(le nombre --1 - e-p
1" Si g est d'ordre +m par rapport à ex, on a log g » x, d'où g'/g » 1 ou
gf » g d'après l'hypothèse; g est donc croissante et tend vers + m avec x, d'où
2 g(>i) = + m. Si u est la fonction en escalier associée à la série (g(n)) (V, p. 27)'
n = 1
on a u(x) 6 g(x) à partir d'une certaine valeur de x, donc u < g et par suite
comme sn = sn-, + g(n), on a bien sn - g(n). Démonstration analogue lorsque g
est d'ordre - m par rapport à ex; on a alors la formule (2).
2" Si g est d'ordre p par rapport à ex, on peut écrire g(x) = eVxh(x), où h est
d'ordre O par rapport à ex; en outre, par hypothèse, log g - px pour y # O
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(log g « x pour p = O) entraîne h' 4: h. Supposons d'abord que 2 g(n) = + m
n = 1
(ce qui implique p O, et est réciproquement toujours vérifié si p > 0, puisqu'alors g(x) tend vers + co avec x) ; évaluons une partie principale de J": -, g(t) dt.
On peut écrire
Or, la relation h' « h signifie que, pour tout z > O, il existe no tel que la relation x > no entraîne Ihf(x)/h(x)l 6 E ; on en déduit, pour n - 1 6 t 6 n,