No 2
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.29
Supposons que toute somme partielle
g(m) où g E 8, admette un dévelopm = l
pement asymptotique par rapport à 8'. On peut alors obtenir un développement
asymptotique de sn = 2 u , par rapport h 8'; nous distinguerons encore deux
m = l
cas :
m
10 1 g,(n) = +m. Alors (V, p. 27, prop. 2), on a 2 r,(m) X 2 g&) ;
n = 1
m = l
m = 1
par hypothèse, on peut obtenir un développement asymptotique de
(V, p. 13) à une certaine précision g,,; si cg, (n) est la partie principale de
2 g,(m), on aura un développement asymptotique de s, 2 la précision gmin(o,
m = l
-
20 2 g,(n) est convergente; soit alors (3 le plus petit des indices h < a tels
n = l
m
que ah # O et que 2 gh(n) soit convergente; la série
n = 1
est alors absolument convergente, et on peut écrire
m
On a en outre
r,(m) «
g,(m); si cg,(n) est la partic principale de
m = n + l
m = n + l
g,(m), et si on a un développement asymptotique de
m = n + l
à la précision g,, on obtiendra ainsi un développement asymptotique de s, à la
précision gmin (P. O).
On est ainsi ramené au cas particulier des séries (g(n)) où g E 8. Nous allons
voir comment, moyennant certaines conditions, on peut tout d'abord obtenir une
partie principale de s, = 5 g(m) (lorsque 3 g(n) = +a) ou de r, =
m = 1
n = l
..
-
L g(m) (lorsque 3 g(n) < + m).
m = n + 1
n = l
PROPOSITION 6. - Soit g une fonction numérique > O et monotone denie dans un intervalle
(x,, + KI( (où x, < l), et telle que log g et x soient com~arables d'ordre 1.