FVR V.28
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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la série (un), on a v(x + 1) < f ( x ) < v(x) pour tout x 2 xo, puisque f est décroissante; la proposition résulte donc du principe de comparaison (II, p. 17,
prop. 3).
Comme les fonctions qui figurent dans les critères logarithmiques de convergence des intégrales (V, p. 19-20, prop. 2, 3 et 4) sont décroissantes dans un
intervalle (x,, +CO(, l'application des prop. 1 et 3 de V, p. 27, donne les
critères suivants :
PROPOSITION 4 ((< critère logarithmique d'ordre O o). - Soit (un) une série à termes
positifs; si un < ni" pour un p. < - 1, la série (un) est convergente; si un $ nu pour un
p. 2 - 1, la série (un) a une somme injnie.
PROPOSITION 5 ((( critère logarithmique d'ordre P D). - Soit (un) une série à termes
PositÊfs. Si u i
1
pour un p. > 1, la série (un) est
" ' n.ll(n).l,(n). . .lp-,(n) (lp(n))i"
1
1
convergente; si u, >,
pour un p < 1, la série (un) a une
n.11(4 . Jp-,(n) (lP(n))i"
somme injnie.
Si O < q < 1, on a qn < n-v quel que soit IJ. > 0; l'application du critère logam
rithmique d'ordre O prouve à nouveau la convergence de la série géométrique S qn
n=O
pour 1q1 < 1 (TG, IV, p. 32). Si on applique la prop. 1 en prenant un = qn on obtient
un critère qui peut se mettre sous la forme suivante (<( critère de Cauchy i)) : Soit
(u,,) une série à termes posit$s; si lim. sup (un)lln < 1, la série (21,) est convergente; si
n - m
lim .sup (un)lln > 1, la série ((un) a une somme inifinie. E n effet, si lim. sup (un)lln =
n- m
n- m
a < 1, pour tout nombre q tel que a < q < 1, on a un < qn. Si au contraire
limasup (un)lin = a > 1, pour tout q tel que 1 < q < a, on a un 2 qn > 1 pour une
n- a
infinitd de valeurs de n; un ne tendant pas vers O, on a SI un = + CO.
Ce critère est fort utile dans la théorie des séries entières, que nous étudierons plus
tard; mais il ne permet déjà plus de décider de la convergence des séries (Ilnu),
autrement dit son champ d'application est beaucoup plus restreint que celui des
critères logarithmiques.
2. Développement asymptotique des sommes partielles d'une serie
Pour x réel tendant vers + co, soit d une échelle de comparaison formée de fonctions dont chacune est définie dans tout un intervalle (x,, +co[ (dépendant de la
fonction) et est 2 O dans cet intervalle. Soit (un) une série dont les termes
appartiennent à un espace normé complet E, telle que un admette un développement asymptotique à la précision g , par rapport à l'échelle 8' des restrictions à
N des fonctions de &:
U n = a< z or a d n ) + r&).
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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la série (un), on a v(x + 1) < f ( x ) < v(x) pour tout x 2 xo, puisque f est décroissante; la proposition résulte donc du principe de comparaison (II, p. 17,
prop. 3).
Comme les fonctions qui figurent dans les critères logarithmiques de convergence des intégrales (V, p. 19-20, prop. 2, 3 et 4) sont décroissantes dans un
intervalle (x,, +CO(, l'application des prop. 1 et 3 de V, p. 27, donne les
critères suivants :
PROPOSITION 4 ((< critère logarithmique d'ordre O o). - Soit (un) une série à termes
positifs; si un < ni" pour un p. < - 1, la série (un) est convergente; si un $ nu pour un
p. 2 - 1, la série (un) a une somme injnie.
PROPOSITION 5 ((( critère logarithmique d'ordre P D). - Soit (un) une série à termes
PositÊfs. Si u i
1
pour un p. > 1, la série (un) est
" ' n.ll(n).l,(n). . .lp-,(n) (lp(n))i"
1
1
convergente; si u, >,
pour un p < 1, la série (un) a une
n.11(4 . Jp-,(n) (lP(n))i"
somme injnie.
Si O < q < 1, on a qn < n-v quel que soit IJ. > 0; l'application du critère logam
rithmique d'ordre O prouve à nouveau la convergence de la série géométrique S qn
n=O
pour 1q1 < 1 (TG, IV, p. 32). Si on applique la prop. 1 en prenant un = qn on obtient
un critère qui peut se mettre sous la forme suivante (<( critère de Cauchy i)) : Soit
(u,,) une série à termes posit$s; si lim. sup (un)lln < 1, la série (21,) est convergente; si
n - m
lim .sup (un)lln > 1, la série ((un) a une somme inifinie. E n effet, si lim. sup (un)lln =
n- m
n- m
a < 1, pour tout nombre q tel que a < q < 1, on a un < qn. Si au contraire
limasup (un)lin = a > 1, pour tout q tel que 1 < q < a, on a un 2 qn > 1 pour une
n- a
infinitd de valeurs de n; un ne tendant pas vers O, on a SI un = + CO.
Ce critère est fort utile dans la théorie des séries entières, que nous étudierons plus
tard; mais il ne permet déjà plus de décider de la convergence des séries (Ilnu),
autrement dit son champ d'application est beaucoup plus restreint que celui des
critères logarithmiques.
2. Développement asymptotique des sommes partielles d'une serie
Pour x réel tendant vers + co, soit d une échelle de comparaison formée de fonctions dont chacune est définie dans tout un intervalle (x,, +co[ (dépendant de la
fonction) et est 2 O dans cet intervalle. Soit (un) une série dont les termes
appartiennent à un espace normé complet E, telle que un admette un développement asymptotique à la précision g , par rapport à l'échelle 8' des restrictions à
N des fonctions de &:
U n = a< z or a d n ) + r&).