No 1
APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS
FVR V.27
5 4. APPLICATION AUX SÉRIES A TERMES POSITIFS
1. Critères de convergence des séries à termes positifs
Dans tout ce paragraphe, nous entendons (par abus de langage) par série à
termes positifs une série (un) à termes réels tels que un 2 O à partir d'une certaine
valeur de n. Tout ce qui sera dit sur ces séries s'étend aussitôt par changement de
signe aux séries dont tous les termes sont < O à partir d'une certaine valeur de n.
On a vu (II, p. 14, Exemple 3) qu'à toute suite (un),, , de points d'un espace normé
E, on associe une fonction en escalier u définie dans (1, +m( par les conditions
u(x) = un pour n < x < n + 1 : alors, pour que la série (un) soit convergente, il
faut et il suffit que l'intégrale J " : " u(t) dt soit convergente.
Soient (un) et (v,) deux séries à termes positifs, u et v les fonctions en escalier
associées: la relation un < vn pour n 2 no équivaut à u(x) < v(x) pour x 2 no.
Par suite, chacune des relations un < un, un «un, un - vn est respectivement
équivalente à u(x) < v(x), u(x) « v(x), u(x) - u(x); cette remarque permet de
traduire comme suit les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) :
PROPOSITION 1. - Soient (un) et (un) deux séries à termes positifs. Si un < un, et si la
m
série (un) est convergente, la série (un) est convergente; si u, > un et si 2 un = +a, on a
n = l
PROPOSITION 2. - Soient (un) et (un) deux séries à termespositifs:
1" Si la série (un) est convergente, la relation un « vn (resp. un - un) entraine
5 up « 2 up (resp. Z up -
p = n
p = n
p = n
3 up).
m
20 Si 2 vn = +m, la relation un « un (resp. un - un) entraîne 2 up « 2 vp
n = l
p = 1
p = 1
- -
On obtient des critères commodes de convergence en prenant pour série de
comparaison (un) dans la prop. 1 une série dont les termes sont de la forme
un = f (n), où f est une fonction 2 0, d$nie pour tout nombre réel x > x, et
décroissante dans l'intervalle (x,, + m(; en effet:
PROPOSITION 3 (critère de Cauchy-Maclaurin). - Si f est une fonction 2 O et
décroissante dans (x,, + m(, pour que la série de terme général vn = f (n) soit convergente, il
faut et il suit que l'intégrale Jio" f (t)dt soit convergente.
Il suffit pour le voir de remarquer que si v est la fonction en escalier associée à