FVR V.26
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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2 O 1 : * g,(t) dt est convergente; soit p alors le plus petit des indices )i < cr tels
que a , # O et que " g,(t)dt soit convergente; l'intégrale
est alors convergente, et on peut écrire
r,(t) dt.
h < 13
On a alors S i " r,(t) dt « 1 : " g,(t) dt ; si cg, est la partie principale d e J i " g,(t)dt,
et si on a un développement asymptotique de
à la précision g,, on aura de la sorte un développement asymptotique de F à la
précision gmin(,, , ) .
Tout revient donc à trouver des développements asymptotiques par rapport à
& de primitives de fonctions de 8. Nous avons vu comment, moyennant certaines
hypothèses sur &, la prop. 8 de V, p. 23 donne la partie principale d'une telle
primitive. En outre, la démonstration de la prop. 8 donne l'expression de la
différence des deux membres de la formule (1) (resp. (2)) de V, p. 23, sous forme
avec g = f/ f ') ; en formant la partie principale de cette nouvelle primitive, ainsi
qu'un développement asymptotique du second membre de (1) (resp. (Z)), on
obtiendra le second terme du développement cherché (voir V, p. 36-43).
Exemples. - 1) Soit f (x) = l/log x (x > 1) ; on a vu que Sz dtllog t N xllog x, et la
dt
différence
- - -?- est une primitive de l/(log x ) ~ ; on peut de nouveau
a log t
log x
appliquer à cette fonction la prop. 8, qui donne Sz dt/(log t)2 N x/(log x ) ~ . Par
récurrence, on obtient ainsi le développement
On notera que, quel que soit n, tous les termes de ce développement tendent vers
+a, avec x.
ex
ex
ex
2) Soit f ( x ) = - x2 + 1
; on peut écrire f ( x ) = - -
xZ
donne les développements
d'où par addition