DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE i- CO
FVR V.25
Exem$les. - 1) La fonction l/log x est d'ordre O par rapport à x, et satisfait aux
conditions de la prop. 8 de V, p. 23; donc
dt
IaX - &.
2) La fonction ex2 est d'ordre + co par rapport à x ct satisfait aux conditions de
la prop. 8, donc
Dans l'Appendice (V, p. 41), nous définirons un ensemble de fonctions auxquelles les prop. 7 et 8 sont toujours applicables.
Remarque. - La prop. 8 n'est pas directement applicable à une fonction f d'ordre
- 1 par rapport à x. Mais on pcut alors écriref(r) = fl(x)/x, f, étant d'ordre O par
rapport à x. Supposons par exemple que [ T " f (t) dt soit infinie; alors
F(x) = 1 ; (t) dt = Sax f f, (t) df = l o : a X
fl (eu) du.
Si la fonction f,(eY) satisfait aux conditions de la prop. 8 et a un ordrc # - 1 par
rapport à y (c'est-à-dire si fl(x) a un ordre # - 1 par rapport à log x), les formules
(1) et (2) permettront encore d'obtenir une partie principale dc F(x). Par exemple,
,-exp (
% '
l
o g
x)
soit f (x) =
; comme exp ( I F ) est d'ordre O par rapport à x, f est
x log x
-
d'ordre - 1; on a ici f,(eY) = eJ4/.y et cette fonction est d'ordrc +CO par rapport à
y; la prop. 8 lui est applicable et donne SaeJü/u du
2eJG/dj; en revenant à la
variable x, il vient donc
exp ( d m ) 2 exp ( d&x)
dt - I F x
6. Développement asymptotique d'une primitive
Soit G une échelle de comparaison au voisinage de +CO formée de fonctions
numériques # O et de signe constant au voisinage de +a; soit f une fonction
vectorielle réglée définie dans un intervalle (a, +a(, à valeurs dans un espace
normé complet E, et admettant un développement asymptotique
à la précision g,, par rapport à 8. Supposons en outre que toute primitive
g(t) dt d'une fonction g E 8 admette un développement asymptotique par
rapport à 8. Dans ces conditions, nous allons voir qu'on peut obtenir un développement asymptotique de F(x) = f(l' f (t) dt relativement à 8. Distinguons deux
cas :
l0 J " : g J t ) dt est infinie; alors (V, p. 20, prop. 6), on a J"a r,(t) dt « J": g,(t) dt;
par hypothèse, on peut obtenir un développement asymptotique de
2 a , J": g (t)dt à une certaine précision gp (V, p. 12) ; si cg* est la partie princih $ a
pale de J" : g,(t)dt, on aura donc un développement asymptotique de J"(1 f (t) dt à
la précision g,,, ,,, O ,
,
dont tous les termes ont des normes croissant indéfiniment.
FVR V.25
Exem$les. - 1) La fonction l/log x est d'ordre O par rapport à x, et satisfait aux
conditions de la prop. 8 de V, p. 23; donc
dt
IaX - &.
2) La fonction ex2 est d'ordre + co par rapport à x ct satisfait aux conditions de
la prop. 8, donc
Dans l'Appendice (V, p. 41), nous définirons un ensemble de fonctions auxquelles les prop. 7 et 8 sont toujours applicables.
Remarque. - La prop. 8 n'est pas directement applicable à une fonction f d'ordre
- 1 par rapport à x. Mais on pcut alors écriref(r) = fl(x)/x, f, étant d'ordre O par
rapport à x. Supposons par exemple que [ T " f (t) dt soit infinie; alors
F(x) = 1 ; (t) dt = Sax f f, (t) df = l o : a X
fl (eu) du.
Si la fonction f,(eY) satisfait aux conditions de la prop. 8 et a un ordrc # - 1 par
rapport à y (c'est-à-dire si fl(x) a un ordre # - 1 par rapport à log x), les formules
(1) et (2) permettront encore d'obtenir une partie principale dc F(x). Par exemple,
,-exp (
% '
l
o g
x)
soit f (x) =
; comme exp ( I F ) est d'ordre O par rapport à x, f est
x log x
-
d'ordre - 1; on a ici f,(eY) = eJ4/.y et cette fonction est d'ordrc +CO par rapport à
y; la prop. 8 lui est applicable et donne SaeJü/u du
2eJG/dj; en revenant à la
variable x, il vient donc
exp ( d m ) 2 exp ( d&x)
dt - I F x
6. Développement asymptotique d'une primitive
Soit G une échelle de comparaison au voisinage de +CO formée de fonctions
numériques # O et de signe constant au voisinage de +a; soit f une fonction
vectorielle réglée définie dans un intervalle (a, +a(, à valeurs dans un espace
normé complet E, et admettant un développement asymptotique
à la précision g,, par rapport à 8. Supposons en outre que toute primitive
g(t) dt d'une fonction g E 8 admette un développement asymptotique par
rapport à 8. Dans ces conditions, nous allons voir qu'on peut obtenir un développement asymptotique de F(x) = f(l' f (t) dt relativement à 8. Distinguons deux
cas :
l0 J " : g J t ) dt est infinie; alors (V, p. 20, prop. 6), on a J"a r,(t) dt « J": g,(t) dt;
par hypothèse, on peut obtenir un développement asymptotique de
2 a , J": g (t)dt à une certaine précision gp (V, p. 12) ; si cg* est la partie princih $ a
pale de J" : g,(t)dt, on aura donc un développement asymptotique de J"(1 f (t) dt à
la précision g,,, ,,, O ,
,
dont tous les termes ont des normes croissant indéfiniment.