FVR V.24
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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la Si f est d'ordre p # O par rapport à x, on a log 1 f 1 - p log x, donc,
comme log 1 f 1 et log x sont comparables d'ordre 1, on a d'après la prop. 7 de V,
p. 22, f'/f - p/x, ou xf' N p$ Si p > - 1, on a f (x) » xw-E pour tout E > 0,
donc (V, p. 19, prop. 2) l'intégrale 1; " f (t) dt est infinie. On peut écrire F(x) =
1; f (t) dt = x f (x) - a f (a) - 1; tf '(t) dt, ou encore
comme p # - 1, f (x) + x f'(x) (p + 1) f (x), donc (V, p. 20, prop. 6)
ce qui démontre dans ce cas la relation (1). Si p = 0, on a de même x f '(x) « f (x),
ce qui donne encore f (x) + x f'(x) N f (x). On raisonne de manière analogue
lorsque p < - 1, cas où " f (t) dt est convergente.
2" Si f est d'ordre +CG par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc (V, p. 22,
prop. 7) f'/f » llx, ou encore, en posant g(x) = f (x)/ f'(x), g(x) « x; en outre,
comme f (x) » xCC pour tout cc > 0, l'intégrale 1;" f (t) dt est infinie. On peut
écrire
comme g et x sont comparables d'ordre 1, de la relation g(x) « x on déduit
(V, p. 22, prop. 7) g'(x) « 1, donc fg' « f, et par suite (V, p. 20, prop. 6)
ce qui établit la relation (2). Démonstration analogue lorsque f est d'ordre - m
par rapport à x, cas où 1
: * f (t) dt est convergente.
Soit d une échelle de comparaison (pour x réel tendant vers +CO) formée de
fonctions numériques non nulles et de signe constant au voisinage de +CO, telle
que x E & et que le produit et le quotient de deux fonctions de & appartiennent
encore à 8 (V, p. 11 et p. 14). Si une fonction réglée f de signe constant au
voisinage de + o~ admet une partie principale cg par rapport à &,lX " f (t) dt (resp.
,a f (t)dt suivant le cas) sera équivalente à c 1
: " g(t) dt (resp. c 1; g(t) dt) ; si la
fonction g satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23, et si (lorsque la
formule (2) de V, p. 23, s'applique) on connaît une partie principale de g' relativement à 8, on aura ainsi une partie principale de 1
: " f (t) dt (resp. Sz f (t) dt)
relativement à &.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
9 3
la Si f est d'ordre p # O par rapport à x, on a log 1 f 1 - p log x, donc,
comme log 1 f 1 et log x sont comparables d'ordre 1, on a d'après la prop. 7 de V,
p. 22, f'/f - p/x, ou xf' N p$ Si p > - 1, on a f (x) » xw-E pour tout E > 0,
donc (V, p. 19, prop. 2) l'intégrale 1; " f (t) dt est infinie. On peut écrire F(x) =
1; f (t) dt = x f (x) - a f (a) - 1; tf '(t) dt, ou encore
comme p # - 1, f (x) + x f'(x) (p + 1) f (x), donc (V, p. 20, prop. 6)
ce qui démontre dans ce cas la relation (1). Si p = 0, on a de même x f '(x) « f (x),
ce qui donne encore f (x) + x f'(x) N f (x). On raisonne de manière analogue
lorsque p < - 1, cas où " f (t) dt est convergente.
2" Si f est d'ordre +CG par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc (V, p. 22,
prop. 7) f'/f » llx, ou encore, en posant g(x) = f (x)/ f'(x), g(x) « x; en outre,
comme f (x) » xCC pour tout cc > 0, l'intégrale 1;" f (t) dt est infinie. On peut
écrire
comme g et x sont comparables d'ordre 1, de la relation g(x) « x on déduit
(V, p. 22, prop. 7) g'(x) « 1, donc fg' « f, et par suite (V, p. 20, prop. 6)
ce qui établit la relation (2). Démonstration analogue lorsque f est d'ordre - m
par rapport à x, cas où 1
: * f (t) dt est convergente.
Soit d une échelle de comparaison (pour x réel tendant vers +CO) formée de
fonctions numériques non nulles et de signe constant au voisinage de +CO, telle
que x E & et que le produit et le quotient de deux fonctions de & appartiennent
encore à 8 (V, p. 11 et p. 14). Si une fonction réglée f de signe constant au
voisinage de + o~ admet une partie principale cg par rapport à &,lX " f (t) dt (resp.
,a f (t)dt suivant le cas) sera équivalente à c 1
: " g(t) dt (resp. c 1; g(t) dt) ; si la
fonction g satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23, et si (lorsque la
formule (2) de V, p. 23, s'applique) on connaît une partie principale de g' relativement à 8, on aura ainsi une partie principale de 1
: " f (t) dt (resp. Sz f (t) dt)
relativement à &.