No 5
DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE + CO
FVR V.23
déduirait de la prop. 1 (V, p. 18) que l'intégrale lzo g f ( t ) dt serait convergente;
comme f ' et g f sont supposées comparables, on a nécessairement f ' « g'.
COROLLAIRE. - S i deux fonctions numériquesf, g sont comparables d'ordre k 2 1, elles
sont comparables d'ordre p pour O < p < k ; en outre, la relation f « g (resp. f N cg)
entratne f ( k ) < g(k) (resp. f ( k )
sauf lorsque rune des dérivées g ( P ) (O < p ,< k - 1)
est équivalente à une constante # O.
En effet, comme f(") et g(" gardent un signe constant dans un intervalle
(xo, +CO(, f ( k - l ) et g(k-l) sont monotones dans cet intervalle, donc gardent un
signe constant au voisinage de + co; en outre, la prop. 7 de V, p. 22, montre
que f ' k - l ) et g ( k - l ) sont comparables, donc le corollaire résulte de la prop. 7
appliquée par récurrence sur k.
Remarques. - 1) La restriction de l'énoncé de la prop. 7 concernant g est essentielle.
1
Par exemple, on a l/x 4: 1 + A bien que les dérivées des deux membres soient
1
1
équivalentes; demême 1 + ; 1 + - mais 1/x2 % 2/x3.
x2 '
2) Si f et g sont comparables d'ordre k, une fonction f, équivalente à f n'est pas
nécessairement comparable d'ordre k à g; elle l'est toutefois si on suppose que f, est
comparable d'ordre k à f et qu'aucune des dérivées f(p) (O < $ < k - 1) n'est
équivalente à une constante # O.
3) Si f et g sont comparables d'ordre k, il n'en pas nécessairement de même de hf
et hg, même pour une fonction monotone h aussi simple que h(x) = x (V, p. 49,
exerc. 3); de même, l/ f et l/g ne sont pas nécessairement comparables d'ordre k
(V, p. 48, exerc. 1).
5. Partie principale d'une primitive
Soit f une fonction numérique réglée tr O et gardant un signe constant dans un
intervalle (a, +CO(; la proposition suivante permet dans certains cas d'obtenir
une partie principale simple de la primitive f;" f (t) dt si Sa+" f ( t ) dt est convergente, et de la primitive 1; f ( t ) dt si l'intégrale 1; f ( t ) dt est infinie:
PROPOSITION 8. - On pose F(x) = 1; " f (t)dt si 1; " f (t)dt est convergente, F(x) =
f f (t) dt si J", f " f ( t ) dt est injinie. On suppose que log 1 f 1 et log x sont comparables
d'ordre 1.
l0 Si f est d'ordrejni p # - 1 par rapport à x, on a
2 O Si f est d'ordre inJini par rapport à x et si f / f' et x sont comparables d'ordre 1, on a
On notera que l'hypothèse entraîne que f ( x ) a un ordre déterminé par rapport à x (V, p. 9).
DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE + CO
FVR V.23
déduirait de la prop. 1 (V, p. 18) que l'intégrale lzo g f ( t ) dt serait convergente;
comme f ' et g f sont supposées comparables, on a nécessairement f ' « g'.
COROLLAIRE. - S i deux fonctions numériquesf, g sont comparables d'ordre k 2 1, elles
sont comparables d'ordre p pour O < p < k ; en outre, la relation f « g (resp. f N cg)
entratne f ( k ) < g(k) (resp. f ( k )
sauf lorsque rune des dérivées g ( P ) (O < p ,< k - 1)
est équivalente à une constante # O.
En effet, comme f(") et g(" gardent un signe constant dans un intervalle
(xo, +CO(, f ( k - l ) et g(k-l) sont monotones dans cet intervalle, donc gardent un
signe constant au voisinage de + co; en outre, la prop. 7 de V, p. 22, montre
que f ' k - l ) et g ( k - l ) sont comparables, donc le corollaire résulte de la prop. 7
appliquée par récurrence sur k.
Remarques. - 1) La restriction de l'énoncé de la prop. 7 concernant g est essentielle.
1
Par exemple, on a l/x 4: 1 + A bien que les dérivées des deux membres soient
1
1
équivalentes; demême 1 + ; 1 + - mais 1/x2 % 2/x3.
x2 '
2) Si f et g sont comparables d'ordre k, une fonction f, équivalente à f n'est pas
nécessairement comparable d'ordre k à g; elle l'est toutefois si on suppose que f, est
comparable d'ordre k à f et qu'aucune des dérivées f(p) (O < $ < k - 1) n'est
équivalente à une constante # O.
3) Si f et g sont comparables d'ordre k, il n'en pas nécessairement de même de hf
et hg, même pour une fonction monotone h aussi simple que h(x) = x (V, p. 49,
exerc. 3); de même, l/ f et l/g ne sont pas nécessairement comparables d'ordre k
(V, p. 48, exerc. 1).
5. Partie principale d'une primitive
Soit f une fonction numérique réglée tr O et gardant un signe constant dans un
intervalle (a, +CO(; la proposition suivante permet dans certains cas d'obtenir
une partie principale simple de la primitive f;" f (t) dt si Sa+" f ( t ) dt est convergente, et de la primitive 1; f ( t ) dt si l'intégrale 1; f ( t ) dt est infinie:
PROPOSITION 8. - On pose F(x) = 1; " f (t)dt si 1; " f (t)dt est convergente, F(x) =
f f (t) dt si J", f " f ( t ) dt est injinie. On suppose que log 1 f 1 et log x sont comparables
d'ordre 1.
l0 Si f est d'ordrejni p # - 1 par rapport à x, on a
2 O Si f est d'ordre inJini par rapport à x et si f / f' et x sont comparables d'ordre 1, on a
On notera que l'hypothèse entraîne que f ( x ) a un ordre déterminé par rapport à x (V, p. 9).