FVR V.22
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
d'où
nn sin2 t
ln I d t
et l'intégrale ST dtjt est infinie, alors que j z g ( t ) dt = - cos x reste bornée (cf. V, p.
49, exerc. 4).
-
2
4. Dérivation des relations de comparaison
Les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) n'admettentpas de réciproque: l'existence
d'une relation de comparaison f < g, f « g, f - cg entre deux fonctions dérivables au voisinage de + co n'entraîne pas nécessairement la même relation de
2 comparaison entre leurs dérivées, même lorsqu'il s'agit de relations de comparaison entre fonctions numériques et monotones f et g.
Par exemple, la fonction x2 + x sin x + cos x est monotone et équivalente à x2,
mais sa dérivée x(2 + cos x) n'est pas équivalente à 2x.
Par contre, on peut dériver des relations de comparaison lorsqu'on suppose a
priori que les dérivées des fonctions considérées sont comparables (V, p. 7). De
façon générale, nous dirons que deux fonctions numériquesf, g, définies dans un
intervalle (a, +CO(, sont comparables d'ordre k au voisinage de +CO si, dans un
voisinage de +KI, elles admettent une dérivée k-ème réglée sauf en une infinité
dénombrable de points, et si, dans ce voisinage, f ('") et g'" gardent un signe constant
(dans l'ensemble où elles sont définies), et sont comparables.
O n convient de dire que deux fonctions numériques comparables (V, p. 7) sont
comparables d'ordre 0.
PROPOSITION 7. - Si deux fonctions numériques f, g, sont comparables d'ordre 1, elles
sont comparables; en outre, la relation f « g (resp. f - cg, c constante) entraîne f' 4 g'
(resp. f' - cg') sauf sig est équivalente à une constante # 0.
En effet, comme f' et g' gardent un signe constant dans un intervalle
(xo, +CO(, f et g sont monotones dans cet intervalle, donc tendent vers une limite
finie ou infinie lorsque x tend vers + co. Il est évident que f et g sont comparables
lorsque x tend vers +a, si une de ces limites est finie et # O, ou si l'une est nulle
et l'autre infinie. Si f et g tendent toutes deux vers O, on peut écrire f (x) =
gr(t)dt; comme f' et g' sont comparables, il en est
- j
:
" fl(t)dt, g(x) = - J+"
de même de f et g et la relation de comparaison entre f et g est la même que celle
qui existe entre f ' et g', d'après la prop. 6 (V, p. 20). De même, si f et g ont
toutes deux un elimite infinie, on a f (x) = f (x,,) + Eo f'(t) dt, g(x) = g(xo) +
g'(t) dt; la prop. 6 (V, p. 20) montre de nouveau que f et g sont comparables et que la relation de comparaison entre f et g est la même que celle qui existe
entre f' etg'. P Our achever de démontrer la proposition, il reste à considérer le cas
oùg tend vers + co et f vers une constante; alors on ne peut avoir f ' 3 g', car on
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
d'où
nn sin2 t
ln I d t
et l'intégrale ST dtjt est infinie, alors que j z g ( t ) dt = - cos x reste bornée (cf. V, p.
49, exerc. 4).
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4. Dérivation des relations de comparaison
Les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) n'admettentpas de réciproque: l'existence
d'une relation de comparaison f < g, f « g, f - cg entre deux fonctions dérivables au voisinage de + co n'entraîne pas nécessairement la même relation de
2 comparaison entre leurs dérivées, même lorsqu'il s'agit de relations de comparaison entre fonctions numériques et monotones f et g.
Par exemple, la fonction x2 + x sin x + cos x est monotone et équivalente à x2,
mais sa dérivée x(2 + cos x) n'est pas équivalente à 2x.
Par contre, on peut dériver des relations de comparaison lorsqu'on suppose a
priori que les dérivées des fonctions considérées sont comparables (V, p. 7). De
façon générale, nous dirons que deux fonctions numériquesf, g, définies dans un
intervalle (a, +CO(, sont comparables d'ordre k au voisinage de +CO si, dans un
voisinage de +KI, elles admettent une dérivée k-ème réglée sauf en une infinité
dénombrable de points, et si, dans ce voisinage, f ('") et g'" gardent un signe constant
(dans l'ensemble où elles sont définies), et sont comparables.
O n convient de dire que deux fonctions numériques comparables (V, p. 7) sont
comparables d'ordre 0.
PROPOSITION 7. - Si deux fonctions numériques f, g, sont comparables d'ordre 1, elles
sont comparables; en outre, la relation f « g (resp. f - cg, c constante) entraîne f' 4 g'
(resp. f' - cg') sauf sig est équivalente à une constante # 0.
En effet, comme f' et g' gardent un signe constant dans un intervalle
(xo, +CO(, f et g sont monotones dans cet intervalle, donc tendent vers une limite
finie ou infinie lorsque x tend vers + co. Il est évident que f et g sont comparables
lorsque x tend vers +a, si une de ces limites est finie et # O, ou si l'une est nulle
et l'autre infinie. Si f et g tendent toutes deux vers O, on peut écrire f (x) =
gr(t)dt; comme f' et g' sont comparables, il en est
- j
:
" fl(t)dt, g(x) = - J+"
de même de f et g et la relation de comparaison entre f et g est la même que celle
qui existe entre f ' et g', d'après la prop. 6 (V, p. 20). De même, si f et g ont
toutes deux un elimite infinie, on a f (x) = f (x,,) + Eo f'(t) dt, g(x) = g(xo) +
g'(t) dt; la prop. 6 (V, p. 20) montre de nouveau que f et g sont comparables et que la relation de comparaison entre f et g est la même que celle qui existe
entre f' etg'. P Our achever de démontrer la proposition, il reste à considérer le cas
oùg tend vers + co et f vers une constante; alors on ne peut avoir f ' 3 g', car on