No 3
DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE + CO
FVR V.21
Il suffit de démontrer la proposition concernant la relation f « g, puisque, si
c # O, la relation f - cg est équivalente à f - cg « g.
La première partie est une conséquence immédiate du théorème de la moyenne, car si on a Jlf(x) I I < cg(%) pour x > xo, on en tire
1 1 1 : f(t) dtll c
* ~lf(t) 11 dt < c 1
: * g(t) dt pour x à xO.
En second lieu, supposons que /af g(t) dt = +CO. Si I]f(x) II < cg(%) pour
x 3 xo à max (cr, p), on a
\If@) /I dt = jxO I l f (t) 11 dt + 1% [ I f (t) I I dl G 1%' / I f (t) 1 1 dt + dt
a
xo
Or, il existe x, à xo tel que pour tout x à x,
d'où, pour x 2 x1
ce qui achève la démonstration, E > O étant arbitraire.
En d'autres termes, on peut intégrer les deux membres d'une relation forte
f « g, f N ag, lorsque g est positive dans un intervalle (a, +CO(, sans que la relation cesse d'avoir lieu entre les primitives des deux membres, pourvu qu'on ait
soin d'intégrer de x à + oo si /af " g(t) dt est convergente et de cc à x (cr quelconque
dans (a, + co() dans le cas contraire.
On notera que les prop. 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) sont encore valables lorsque 8
est la base de filtre formée de la trace des intervalles (t, f i a ( (où t > a ) sur le
complémentaire d'un ensemble dénombrable (cf. 1, p. 23, th. 2).
Exemjles. - 1 ) En appliquant la prop. 6 de V, p. 20, à la relation l/x « xa-l où
cc > O, on retrouve la relation log x < xa pour tout cr > O, équivalente à la relation
ylla « eY démontrée dans III, p. 16.
2) On a (5)' = f (1 - 4 ) w eX/x; comme eX/x tend vers +ia avec x, on
déduit de la prop. 6 de V, p. 20, que
- dt N eX/x.
JI X
;
Remarque. - Lorsque g n'est pas supposée rester > O dans un intervalle (a, +- co(
(ou rester < O dans un tel intervalle), et que Sa g(t) dt n'est pas convergente, la
relation f N g n'entrahe pas nécessairement Sz f (t) dt N g(t) dt, comme le montre
l'exemple où g(x) = sin x et f (x) = ( 1 f - sin x; on a en effet