FVR V.20
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
5 3
1
l'intégrale fa+ f (t) dt est convergente; si f (x) +
pour un
x.ll(x). . .ln-l(x). (ln(x))u
p < 1, l'intégrale f L c f " f ( t ) dt est inJinie.
Chaque critère logarithmique est donc applicable à des fonctions pour
lesquelles les critères d'ordre inférieur ne peuvent donner de conclusion (cf. V, p.
52, exerc. 5 6) et V, p. 53, exerc. 8).
En raison de son utilité, nous traduirons le critère d'ordre O pour les intégrales
fz f (t) dt, où f est réglée et 2 O dans l'intervalle non compact )a, a) :
PROPOSITION 5 ( G critère logarithmique d'ordre O O ) . -Si, au voisinage de a,
on a f (x) < 1 /(x - a)fi pour un p < 1, l'intégrale f f (t) dt est convergente; si
f (x) > 1 /(x - a) pour un p 2 1, l'intégrale fz f (t) dt est injnie.
Nous laissons au lecteur le soin de traduire de même le critère logarithmique
d'ordre n.
L'application des critères logarithmiques est immédiate si on sait obtenir une
partieprincipale de f par rapport à une échelle de comparaison contenant les fonctions qui interviennent dans ces critères: si f, est cette partie principale, l'intégrale
fa " f (t) dt est convergente ou infinie en même temps que Sarn f,(t) dt, et pour
cette dernière intégrale, l'application des critères logarithmiques est immédiate.
Exemples. - 1) La fonction P ( l - t)%st non bornée dans )O, 1( lorsque P < O ou
q < O; d'après les critères logarithmiques d'ordre O appliqués au voisinage des points
O et 1, pour que l'intégrale
tP(1 - t)4 dt converge, il faut et il suffit que P > - 1
et q > - 1. Lorsqu'il en est ainsi, cette intégrale est dite intégrale eulérienne de première
espèce et notée B(p + 1, q i- 1) (cf. VII, p. 8).
2) Considérons l'intégrale
tx-leët dt. Comme e-t - 1 au voisinage de O , pour
que cette intégrale converge, il faut que x > O; cette condition est aussi sufisante car
au voisinage de +a, on a e-' « t-O quel que soit p > O. Lorsque x > 0, l'intégrale
est dite intégrale eulérienne de seconde espèce et notCe î ( x ) (cf. VII, p. 7).
3. Intégration des relations de comparaison: II. Relations fortes
PROPOSITION 6. -Soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction numérique
réglée et 2 O dans (a, +cm(.
1" Si l'intégrale Sa" g(t)dt est convergente, la relation f « g (resp. f - cg, od c est
constant) entraîne 5; " f (t) dt « J-l " g(t) di (resp. 1 ; " f (t) dt N c 1 ; * g(t) dt).
2 O Si l'intégrale fa+ " g(t) dt est inJinie, la relation f « g (resp. f - cg) entraine
quels que soient cr. et p dans (a, +a(.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
5 3
1
l'intégrale fa+ f (t) dt est convergente; si f (x) +
pour un
x.ll(x). . .ln-l(x). (ln(x))u
p < 1, l'intégrale f L c f " f ( t ) dt est inJinie.
Chaque critère logarithmique est donc applicable à des fonctions pour
lesquelles les critères d'ordre inférieur ne peuvent donner de conclusion (cf. V, p.
52, exerc. 5 6) et V, p. 53, exerc. 8).
En raison de son utilité, nous traduirons le critère d'ordre O pour les intégrales
fz f (t) dt, où f est réglée et 2 O dans l'intervalle non compact )a, a) :
PROPOSITION 5 ( G critère logarithmique d'ordre O O ) . -Si, au voisinage de a,
on a f (x) < 1 /(x - a)fi pour un p < 1, l'intégrale f f (t) dt est convergente; si
f (x) > 1 /(x - a) pour un p 2 1, l'intégrale fz f (t) dt est injnie.
Nous laissons au lecteur le soin de traduire de même le critère logarithmique
d'ordre n.
L'application des critères logarithmiques est immédiate si on sait obtenir une
partieprincipale de f par rapport à une échelle de comparaison contenant les fonctions qui interviennent dans ces critères: si f, est cette partie principale, l'intégrale
fa " f (t) dt est convergente ou infinie en même temps que Sarn f,(t) dt, et pour
cette dernière intégrale, l'application des critères logarithmiques est immédiate.
Exemples. - 1) La fonction P ( l - t)%st non bornée dans )O, 1( lorsque P < O ou
q < O; d'après les critères logarithmiques d'ordre O appliqués au voisinage des points
O et 1, pour que l'intégrale
tP(1 - t)4 dt converge, il faut et il suffit que P > - 1
et q > - 1. Lorsqu'il en est ainsi, cette intégrale est dite intégrale eulérienne de première
espèce et notée B(p + 1, q i- 1) (cf. VII, p. 8).
2) Considérons l'intégrale
tx-leët dt. Comme e-t - 1 au voisinage de O , pour
que cette intégrale converge, il faut que x > O; cette condition est aussi sufisante car
au voisinage de +a, on a e-' « t-O quel que soit p > O. Lorsque x > 0, l'intégrale
est dite intégrale eulérienne de seconde espèce et notCe î ( x ) (cf. VII, p. 7).
3. Intégration des relations de comparaison: II. Relations fortes
PROPOSITION 6. -Soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction numérique
réglée et 2 O dans (a, +cm(.
1" Si l'intégrale Sa" g(t)dt est convergente, la relation f « g (resp. f - cg, od c est
constant) entraîne 5; " f (t) dt « J-l " g(t) di (resp. 1 ; " f (t) dt N c 1 ; * g(t) dt).
2 O Si l'intégrale fa+ " g(t) dt est inJinie, la relation f « g (resp. f - cg) entraine
quels que soient cr. et p dans (a, +a(.