No 2
DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE + CO
FVR V. 19
COROLLAIRE 2. - Si f et g sont 2 O et non identiquement nulles dans (a, +a( et telles
que f =: g, on a Sa f (t) dt =: !
a g(t) dt.
2. Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales
Par un choix convenable de la fonction g, on peut déduire de la prop. 1 deV, p. 18,
et de son cor. 1 des critères permettant d'affirmer que l'intégrale Jaf " f (t) dt d'une
fonction f 2 O est convergente ou infinie: il suffit de choisir pour g une fonction
dont on connaît une primitive. En particulier, comme xN a pour primitive
% l L + l
lorsque p # - 1, et log x lorsque p = - 1, on a le critère suivant:
~ + l
PROPOSITION 2 (a critère logarithmique d'ordre O D). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, + CO(; si f (x) , i xv pour un p < - 1, l'intégrale " f (t) dt est
convergente; si f (x) > xU pour un p 2 - 1, l'intégrale 1 ; " f (t) dt est infinie.
Ce critère ne permet pas de conclure lorsque l/xl + " « f (x) « l/x pour tout
exposant a > 0, par exemple pour f (x) = 1 /x(log x)lL (p > O). Mais dans ce
1
dernier cas, f a pour primitive - (log x)lmW si p # 1 et log log x si = 1.
1 - P
Par suite:
PROPOSITION 3 ((( critère logarithmique d'ordre 1 ))). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, +col; si f (x) < l/x(log x)U pour un p > 1, l'intégrale Sa " f (t) dt
est convergente; si f (x) > I/x(log x ) ~
pour un p < 1, l'intégrale 1 ; " f (t) dt est infinie.
De façon générale, désignons par ln(x), pour tout entier n 2 O, la fonction
définie par récurrence (pour x assez grand) par les relations 1, (x) = x, ln(x) =
log (1,-,(x)) pour n > 1; on dit que ln(x) est le n-ème logarithme itéré de x (cf.
1
Appendice). On vérifie aussitôt que - (1 ,(x)) l-" est une primitive de
1 - P
pour p # 1, et ln + , (x) une primitive de
1
Par suite :
x.ll(x). 12(x). . .ln-&) .ln(%)
PROPOSITION 4 ((( critère logarithmique d'ordre n )>). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, + CO(; si f (x) <
1
pour un p > 1,
x - ~ I ( x )
* l 2 ( ~ )
- -ln-l(x) (1n(x))lL
DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE + CO
FVR V. 19
COROLLAIRE 2. - Si f et g sont 2 O et non identiquement nulles dans (a, +a( et telles
que f =: g, on a Sa f (t) dt =: !
a g(t) dt.
2. Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales
Par un choix convenable de la fonction g, on peut déduire de la prop. 1 deV, p. 18,
et de son cor. 1 des critères permettant d'affirmer que l'intégrale Jaf " f (t) dt d'une
fonction f 2 O est convergente ou infinie: il suffit de choisir pour g une fonction
dont on connaît une primitive. En particulier, comme xN a pour primitive
% l L + l
lorsque p # - 1, et log x lorsque p = - 1, on a le critère suivant:
~ + l
PROPOSITION 2 (a critère logarithmique d'ordre O D). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, + CO(; si f (x) , i xv pour un p < - 1, l'intégrale " f (t) dt est
convergente; si f (x) > xU pour un p 2 - 1, l'intégrale 1 ; " f (t) dt est infinie.
Ce critère ne permet pas de conclure lorsque l/xl + " « f (x) « l/x pour tout
exposant a > 0, par exemple pour f (x) = 1 /x(log x)lL (p > O). Mais dans ce
1
dernier cas, f a pour primitive - (log x)lmW si p # 1 et log log x si = 1.
1 - P
Par suite:
PROPOSITION 3 ((( critère logarithmique d'ordre 1 ))). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, +col; si f (x) < l/x(log x)U pour un p > 1, l'intégrale Sa " f (t) dt
est convergente; si f (x) > I/x(log x ) ~
pour un p < 1, l'intégrale 1 ; " f (t) dt est infinie.
De façon générale, désignons par ln(x), pour tout entier n 2 O, la fonction
définie par récurrence (pour x assez grand) par les relations 1, (x) = x, ln(x) =
log (1,-,(x)) pour n > 1; on dit que ln(x) est le n-ème logarithme itéré de x (cf.
1
Appendice). On vérifie aussitôt que - (1 ,(x)) l-" est une primitive de
1 - P
pour p # 1, et ln + , (x) une primitive de
1
Par suite :
x.ll(x). 12(x). . .ln-&) .ln(%)
PROPOSITION 4 ((( critère logarithmique d'ordre n )>). - Soit f une fonction réglée 2 O
dans l'intervalle (a, + CO(; si f (x) <
1
pour un p > 1,
x - ~ I ( x )
* l 2 ( ~ )
- -ln-l(x) (1n(x))lL