FVR V.18
5 3. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES DES
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
Dans ce paragraphe, nous allons considérer seulement le cas où l'ensemble E est
un intervalle ouvert de la droite achevée R, et 8 une base de la trace sur E du filtre
des voisinages de l'origine ou de l'extrémité a de E; en outre, nous étudierons surtout les fonctions numériques (finies) définies dans un ensemble de 8 (dépendant de
la fonction considérée). En utilisant au besoin l'un des changements de variables
1
,
x' = - x, x' = -
1
, X = -, on peut toujours se ramener au cas où
X - G C
X - G C
E est un intervalle de la forme )a, + CO(, et par suite où 8 est formée des intervalles
(t, +col, où t > a. Nous nous bornerons donc en principe à ce dernier cas, et
laisserons au lecteur le soin de traduire la plupart des propositions obtenues (au
moyen des changements de variables précédents), sauf pour quelques résultats
particulièrement importants.
Il nous sera commode de désigner, par abus de langage, les ensembles de 8 sous
le nom de (( voisinages de $ a )).
1. Intégration des relations de comparaison: 1. Relations faibles
PROPOSITION 1. -Dans un intervalle (a, + CO(, soient f une fonction vectorielle réglée, g une
fonction réglée 2 O et telle que Sa " g(t) dt > O. La relation f < gpour x tendant vers + co
entraine Sr f (t) dt < g(t) dt. Si l'intégrale S : " g(t) dt est convergente, l'intégrale
, a * f (t) dt est absolument convergente.
En effet, il existe par hypothèse 6 2 a et un nombre c' > O tels que
f
) < cl(g() pourx 2 6,
d'où
comme d'autre part, on peut supposer 6 assez grand pour que Ji g(t) dt z O, il
existe c" > O tel que I I / : f (t) dtll 4 C" g(t) dt; en posant c = max (cf, c"), on a
donc, pour tout x > b,
d'où la proposition.
COROLLAIRE 1. - Si f et g sont des fonctions réglées 2 O dans l'intervalle (a, +a(,
telles que f > g, et si f, " g(t) dt = + m, on a " f (t) dt = + co.