No 5
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 17
Tous les termes de ce développement à partir du second tendent vers O ; à partir de
ce développement et du développement de Taylor eu = 1 + u + 912 $ o(u2) au
voisinage de u = O, on tire
X x l l X = x + (log x ) ~
+ 3 1 - (log x ) ~ 1 (log x )
x
+ 2 x
+ 0 (F) .
5. Développements asymptotiques à coefficients variables
On peut généraliser la notion de partie principale et celle de développement
asymptotique, de la manière suivante. Soit & une échelle de comparaison formée
de fonctions réelles (resp. complexes) telles que, pour chacune d'elles, il existe un
ensemble de 8 où la fonction ne s'annule en aucun point. Soit d'autre part V? un
ensemble de fonctions - - - - de - -(& Vk satisfaisan1 aux trois conditionssuivantes: -
(CO,) pour toute fon~tion a E %?, on a a < 1.
(CO,,) La relation a « 1 pour une fonction a E %? entraine a = 0.
(CO,,,) %? est un espace vectoriel sur R (resp. C ) .
Soit alors f une fonction quelconque de P ( 8 , V) ; s'il existe une fonction g E E
et une fonction non nulle a E %? telles que f - ag « g, on dira que ag est une partie
princz'pale de f, relative à l'échelle de comparaison & et au domaine de coejicients V.
S'il existe une telle partie principale, elle est unique: supposons en effet qu'il
existe deux telles parties principales a,g, et a,g,; on ne peut avoir g, « g,, car en
vertu de (CO,) on déduirait de là a,g, « g2, et f - a,gl « g, < g,, donc f « g,;
mais alors on aurait aussi a,g, « g,, et par suite a, « 1, contrairement à l'hypothèse a, # O et à la condition (CO,,). On a donc nécessairement g, = g,; des
relations f - a,g, « g,, f - a,g, « g,, on tire alors (a, - a,)g, « g, d'où
a, - a, « 1, et par suite a, = a, en vertu de (COII) et (COIII).
Exemple. - Pour x réel tendant vers +a, les fonctions périodiques et bornées dans
R, ayant une même période 7, satisfont aux conditions (COI), (COII) et (COnr) : en
effet si lim a(x)-= O, pour-tog E > O il exige xo telque x 2 x4 entraineja(x) u ) l < E;
-
Y - 3 . m -
on en déduit qu'on a aussi ja(x)l < E pour O < x < 7 , puisqu9il existe un entier n
tel que x + n.c 2 xo, et que a(x) = a(x + n.c) ; comme E est arbitraire, on a a(x) = O
dans (0, T), donc partout.
Avec Les notations de V, p. 12, on dira que 2 ahgA, où les ah appartiennent
?.
de f à coejicients dans W, à la précision g , si on a f - 2 a,g, «g,; pour tout indice
Asa
p. tel que a, # O, a,g, est alors la partie principale de f - 2 a,g,, relative à 8 et
h 4 w
à W, ce qui prouve l'unicité de développement asymptotique de f (à la précision
gu) lorsqu'il existe.
Les méthodes données au no 3 (V, p. 14) pour former un développement
asymptotique de f, + f, ou de [f, . f,] à partir de développements asymptotiques
donnés de f, et f, s'appliquent encore aux développements à coefficients variables,
à condition que les [a,. b,] appartiennent au domaine de coefficients V correspondant à l'espace normé V ou admettent un développement asymptotique
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àcoefficients -dans Q. - - - -
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 17
Tous les termes de ce développement à partir du second tendent vers O ; à partir de
ce développement et du développement de Taylor eu = 1 + u + 912 $ o(u2) au
voisinage de u = O, on tire
X x l l X = x + (log x ) ~
+ 3 1 - (log x ) ~ 1 (log x )
x
+ 2 x
+ 0 (F) .
5. Développements asymptotiques à coefficients variables
On peut généraliser la notion de partie principale et celle de développement
asymptotique, de la manière suivante. Soit & une échelle de comparaison formée
de fonctions réelles (resp. complexes) telles que, pour chacune d'elles, il existe un
ensemble de 8 où la fonction ne s'annule en aucun point. Soit d'autre part V? un
ensemble de fonctions - - - - de - -(& Vk satisfaisan1 aux trois conditionssuivantes: -
(CO,) pour toute fon~tion a E %?, on a a < 1.
(CO,,) La relation a « 1 pour une fonction a E %? entraine a = 0.
(CO,,,) %? est un espace vectoriel sur R (resp. C ) .
Soit alors f une fonction quelconque de P ( 8 , V) ; s'il existe une fonction g E E
et une fonction non nulle a E %? telles que f - ag « g, on dira que ag est une partie
princz'pale de f, relative à l'échelle de comparaison & et au domaine de coejicients V.
S'il existe une telle partie principale, elle est unique: supposons en effet qu'il
existe deux telles parties principales a,g, et a,g,; on ne peut avoir g, « g,, car en
vertu de (CO,) on déduirait de là a,g, « g2, et f - a,gl « g, < g,, donc f « g,;
mais alors on aurait aussi a,g, « g,, et par suite a, « 1, contrairement à l'hypothèse a, # O et à la condition (CO,,). On a donc nécessairement g, = g,; des
relations f - a,g, « g,, f - a,g, « g,, on tire alors (a, - a,)g, « g, d'où
a, - a, « 1, et par suite a, = a, en vertu de (COII) et (COIII).
Exemple. - Pour x réel tendant vers +a, les fonctions périodiques et bornées dans
R, ayant une même période 7, satisfont aux conditions (COI), (COII) et (COnr) : en
effet si lim a(x)-= O, pour-tog E > O il exige xo telque x 2 x4 entraineja(x) u ) l < E;
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Y - 3 . m -
on en déduit qu'on a aussi ja(x)l < E pour O < x < 7 , puisqu9il existe un entier n
tel que x + n.c 2 xo, et que a(x) = a(x + n.c) ; comme E est arbitraire, on a a(x) = O
dans (0, T), donc partout.
Avec Les notations de V, p. 12, on dira que 2 ahgA, où les ah appartiennent
?.
de f à coejicients dans W, à la précision g , si on a f - 2 a,g, «g,; pour tout indice
Asa
p. tel que a, # O, a,g, est alors la partie principale de f - 2 a,g,, relative à 8 et
h 4 w
à W, ce qui prouve l'unicité de développement asymptotique de f (à la précision
gu) lorsqu'il existe.
Les méthodes données au no 3 (V, p. 14) pour former un développement
asymptotique de f, + f, ou de [f, . f,] à partir de développements asymptotiques
donnés de f, et f, s'appliquent encore aux développements à coefficients variables,
à condition que les [a,. b,] appartiennent au domaine de coefficients V correspondant à l'espace normé V ou admettent un développement asymptotique
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