FVR V.16
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
Sous les mêmes hypothèses surf, on peut écrire
1% I f l = log la,g,l + log(l + h)
et log (1 + h) se développe comme il a été dit plus haut, la fonction log (1 + t)
étant indéfiniment dérivable au voisinage de O; si en outre log g, admet un développement asymptotique par rapport à &, ou par rapport à une échelle &, 2 &,
on obtient un développement asymptotique de log 1 f 1 en faisant la somme de
deux développements asymptotiques.
Exemple. O n a (1 + x)lIx = erp (
: log (1 + ,Y)); lorsque x tend vers + m ,
on a log (1 + x) = logx + log 1 + - , d'où le développement asymptotique de
( il
1
- log (1 + x) par rapport à l'échelle des xa (log x)B:
X
1
log x
1
1
-log (1 + x ) = -
x
De ce développement, et du développement de Taylor
u2 u3
eu = 1 + u + - + - + o(u3)
2
6
au voisinage de u = O, on tire par les méthodes exposées ci-dessus, le développement
asymptotique
log x
1 (log x)2
1
1 (log 4 3
log x
1
(1 + x)llX = 1 + - + -+ -
+ - - -
x
2 x2
x2 6 x3
zX3 + Op($)
par rapport à l'échelle des xa(log x)o.
Les hypothèses et les notations restant les mêmes, le développement asymptotique de ef ne pose de nouveaux problèmes que lorsque f » 1; il faut alors distinguer deux cas, suivant que g, » 1 ou g, < 1. Dans le premier cas, la donnée
du développement de f ne permet pas d'obtenir une partie principale de ef relative à &, car on ignore en général si le reste r, tend vers 0, c'est-à-dire si ere tend
vers 1. Au contraire, si g, < 1, on a r, « 1, donc ef - exp
préciser ce résultat: soit a,g, la partie principale def, et soit S l'indice (tel que
y c 6 6 a ) pour lequel g, = 1 ; posons J, = 2 a,g,, f, = , J< , a,g, + r, ; on a
h < d
f =fi + f2, donc ef = eflef2, et la méthode générale exposée au début de ce no
permet de former un développement asymptotique de efz (à partir du développement de Taylor de et au point t = O). On aura donc encore un développement
asymptotique de ef si efl =
exp(o,g,) appartient à tq ou à une échelle 8,
h a 6
contenant 8.
Exemple. - O n a xxl'* = exp (log x . exp
; lorsque x tend vers + CO, on
a log x « x, d'où le dtveloppement asymptotique de log x. exp
à l'échelle des xa(log x)P :
= logx + 7
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
Sous les mêmes hypothèses surf, on peut écrire
1% I f l = log la,g,l + log(l + h)
et log (1 + h) se développe comme il a été dit plus haut, la fonction log (1 + t)
étant indéfiniment dérivable au voisinage de O; si en outre log g, admet un développement asymptotique par rapport à &, ou par rapport à une échelle &, 2 &,
on obtient un développement asymptotique de log 1 f 1 en faisant la somme de
deux développements asymptotiques.
Exemple. O n a (1 + x)lIx = erp (
: log (1 + ,Y)); lorsque x tend vers + m ,
on a log (1 + x) = logx + log 1 + - , d'où le développement asymptotique de
( il
1
- log (1 + x) par rapport à l'échelle des xa (log x)B:
X
1
log x
1
1
-log (1 + x ) = -
x
De ce développement, et du développement de Taylor
u2 u3
eu = 1 + u + - + - + o(u3)
2
6
au voisinage de u = O, on tire par les méthodes exposées ci-dessus, le développement
asymptotique
log x
1 (log x)2
1
1 (log 4 3
log x
1
(1 + x)llX = 1 + - + -+ -
+ - - -
x
2 x2
x2 6 x3
zX3 + Op($)
par rapport à l'échelle des xa(log x)o.
Les hypothèses et les notations restant les mêmes, le développement asymptotique de ef ne pose de nouveaux problèmes que lorsque f » 1; il faut alors distinguer deux cas, suivant que g, » 1 ou g, < 1. Dans le premier cas, la donnée
du développement de f ne permet pas d'obtenir une partie principale de ef relative à &, car on ignore en général si le reste r, tend vers 0, c'est-à-dire si ere tend
vers 1. Au contraire, si g, < 1, on a r, « 1, donc ef - exp
préciser ce résultat: soit a,g, la partie principale def, et soit S l'indice (tel que
y c 6 6 a ) pour lequel g, = 1 ; posons J, = 2 a,g,, f, = , J< , a,g, + r, ; on a
h < d
f =fi + f2, donc ef = eflef2, et la méthode générale exposée au début de ce no
permet de former un développement asymptotique de efz (à partir du développement de Taylor de et au point t = O). On aura donc encore un développement
asymptotique de ef si efl =
exp(o,g,) appartient à tq ou à une échelle 8,
h a 6
contenant 8.
Exemple. - O n a xxl'* = exp (log x . exp
; lorsque x tend vers + CO, on
a log x « x, d'où le dtveloppement asymptotique de log x. exp
à l'échelle des xa(log x)P :
= logx + 7