No 4
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 15
suivant le filtre de base 8. Soit d'autre part h une fonction à valeurs dans l'espace
normé V sur R (resp. C), définie dans un voisinage du point O dans R (resp. C)
et n fois dérioable dans ce voisinage; on a donc dans ce voisinage,
(1, p. 29), d'où, dans un ensemble convenable de 8,
NOUS avons vu, au no 3, comment on peut former un développement asymptotique de co + cl f -t- - . . + cn f", à une précision g, bien déterminée par la
précision du développement de f; d'autre part, supposons que les coefficients du
développement asymptotique de f ne soient pas tous nuls, et que aygy soit la partie
principale def, et soit go = gy; si CJ < p, on aura un développement de h 0 f à
la précision go en limitant le développement de 2 ck fk à cette précision; si au
k = O
contraire p < s, le développement de 5 ek f k est aussi un développement de
k = O
h of à la précision g,.
Si tous les termes de développement asymptotique de f sont nuls et si gx < 1,
on a f 4 ga, donc f k < g$< g, pour tout entier k > O; si cm est le premier coefficient
d'indice > O qui ne soit pas nul (en supposant que les c, d'indice k > O ne soient
pas tous nuls), c, est un développement asymptotique de h of à la précisiong;.
Dans le reste de ce no, nous nous bornerons au cas où les fonctions de d o n t des
valeurs réelles et strictement positives dans un ensemble de 8, et nous ne considérerons que les développements asymptotiques de fonctions de %(a, R). Supposons
d'abord que pour toute fonction g E 8 et tout nombre réel v, gV appartienne
encore à &: cette condition est par exemple remplie par l'échelle des x", ou celle
des xa \log XI* (a et P réels quelconques) au voisinage de +CO ou au voisinage de O
dans R. Cette propriété entraîne que le quotient de deux fonctions de d appartient
encore à 8. Cela étant, d'un développement asymptotique relatif à & d'une
fonction f E %(B, R), à la précision g,, on peut déduire un développement de
] f lv pour tout nombre réel v. Bornons-nous en effet au cas où les coefficients du
développement de f ne sont pas tous nuls, et soit a,g, la partie principale de f ;
on peut écrire 1 f IV = [aylvg,Y(l $ h)V, avec
En vertu des hypothèses faites
5 est un développement asymptotique
w h a a ay gy
de h, à la précision g,/g,; comme h tend vers O suivant 8, la méthode décrite cidessus donne un développement asymptotique de (1 + h)V, puis un développement de 1 f IV en multipliant par lay lvgy.
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 15
suivant le filtre de base 8. Soit d'autre part h une fonction à valeurs dans l'espace
normé V sur R (resp. C), définie dans un voisinage du point O dans R (resp. C)
et n fois dérioable dans ce voisinage; on a donc dans ce voisinage,
(1, p. 29), d'où, dans un ensemble convenable de 8,
NOUS avons vu, au no 3, comment on peut former un développement asymptotique de co + cl f -t- - . . + cn f", à une précision g, bien déterminée par la
précision du développement de f; d'autre part, supposons que les coefficients du
développement asymptotique de f ne soient pas tous nuls, et que aygy soit la partie
principale def, et soit go = gy; si CJ < p, on aura un développement de h 0 f à
la précision go en limitant le développement de 2 ck fk à cette précision; si au
k = O
contraire p < s, le développement de 5 ek f k est aussi un développement de
k = O
h of à la précision g,.
Si tous les termes de développement asymptotique de f sont nuls et si gx < 1,
on a f 4 ga, donc f k < g$< g, pour tout entier k > O; si cm est le premier coefficient
d'indice > O qui ne soit pas nul (en supposant que les c, d'indice k > O ne soient
pas tous nuls), c, est un développement asymptotique de h of à la précisiong;.
Dans le reste de ce no, nous nous bornerons au cas où les fonctions de d o n t des
valeurs réelles et strictement positives dans un ensemble de 8, et nous ne considérerons que les développements asymptotiques de fonctions de %(a, R). Supposons
d'abord que pour toute fonction g E 8 et tout nombre réel v, gV appartienne
encore à &: cette condition est par exemple remplie par l'échelle des x", ou celle
des xa \log XI* (a et P réels quelconques) au voisinage de +CO ou au voisinage de O
dans R. Cette propriété entraîne que le quotient de deux fonctions de d appartient
encore à 8. Cela étant, d'un développement asymptotique relatif à & d'une
fonction f E %(B, R), à la précision g,, on peut déduire un développement de
] f lv pour tout nombre réel v. Bornons-nous en effet au cas où les coefficients du
développement de f ne sont pas tous nuls, et soit a,g, la partie principale de f ;
on peut écrire 1 f IV = [aylvg,Y(l $ h)V, avec
En vertu des hypothèses faites
5 est un développement asymptotique
w h a a ay gy
de h, à la précision g,/g,; comme h tend vers O suivant 8, la méthode décrite cidessus donne un développement asymptotique de (1 + h)V, puis un développement de 1 f IV en multipliant par lay lvgy.