FVR V.14
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
§ 2
3. Sommes et produits de développements asymptotiques
Si f,, f, admettent des développements asymptotiques à la précision g, et g,
respectivement, relativement à une echelle de comparaison &, on en déduit des
développements à la précision grni,,,, , , en limitant à cette précision les deux
développements; nous avons vu alors dans V, p. 13, comment on obtient un
développement asymptotique de f, + f2 à la précision gmin (
,
,
,).
Soient V,, V, et V trois espaces normes sur le corps K, et soit (x, y) I-+ [x. y]
une application bilinéaire continue de V, x V, dans V; nous supposerons d'autre
part dans tout le reste de ce paragraphe, que l'échelle & soit telle que le produit
de deux fonctions quelconques de & appartienne encore à € (ce qui est le cas
pour toutes les échelles de comparaison données en exemples (dans V, p. 10).
Soient alors fl, f, des fonctions de #(8, VI) et X(8, V,) respectivement,
admettant par rapport à l'échelle € des développements asymptotiques f1 =
2 a,gh + r,, f, = 2 b,g, + r, à la précision g, et gB respectivement. Suph < a
i*G B
posons en outre que ni les a, ni les b, ne soient tous nuls, et soient a,g, et b,g, les
-
parties principales de f, et f,. Par hypothèse, on peut écrire g,g, = g, et g,g, =
d
g,; montrons que la somme Z[a,.b,]g,g,,
étendue aux couples (A, IL) tels que
gmin (P, < gag,, est un développement asymptotique de [f, . f,] ci la précision gmin (O, O).
En effet, la différence entre [f, . f,] et cette somme est somme d'un nombre fini de
termes, qui sont soit de la forme [a,. b,]g,g, avec gag, « gmin ,,, ,
) ,
soit de la forme
[a,.r,]gA, où À 2 y, soit de la forme [r,. b,]g,, où IJ. 2 8; mais comme [x. y]
est continue, on a (V, p. 3, prop. 3 et V, p. 5, prop. 6) [a,. rB]gII. < rBgh « gBgh = gp
pour A 2 y, et de même [r,. b,]g, < r,g, « g,g, = go pour p 2 8, d'où la
proposition (V, p. 5, prop. 5).
Si tous les ah sont nuls, on a [fl .f,] « g,po, autrement dit, on a un développement
asymptotique de [f, .f2] à termes nuls, à la précision g,g6; de même si tous les ah
et tous les b, sont nuls, on a un développement asymptotique de [fl .f2] à termes nuls,
à la précision g,ge.
On appliquera surtout le résultat précédent au cas où V est une algèbre normée
sur K , et la fonction bilinéaire [x.y] le produit xy dans cette algèbre; les cas les
plus importants sont ceux où V est égal à R ou C.
En particulier, si f, (1 < i < n) sont n fonctions de &(8, K) admettant
chacune un développement asymptotique par rapport à 8, on pourra
obtenir un développement asymptotique par rapport à & pour tout polynôme
1 aV,, . . ,_ f >. . . f ;II par rapport auxf;, à coefficients dans un espace normé V;
(v,)
les règles qui précèdent permettent en outre de déterminer la précision du
développement obtenu, connaissant celles des développements des fonctions J;.
4. Composition des développements asymptotiques
Soit f une fonction de &(8, R) (resp. &(8, C)) admettant un développement
asymptotique à la précision g, par rapport à une échelle 6, et ayant pour limite O
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
§ 2
3. Sommes et produits de développements asymptotiques
Si f,, f, admettent des développements asymptotiques à la précision g, et g,
respectivement, relativement à une echelle de comparaison &, on en déduit des
développements à la précision grni,,,, , , en limitant à cette précision les deux
développements; nous avons vu alors dans V, p. 13, comment on obtient un
développement asymptotique de f, + f2 à la précision gmin (
,
,
,).
Soient V,, V, et V trois espaces normes sur le corps K, et soit (x, y) I-+ [x. y]
une application bilinéaire continue de V, x V, dans V; nous supposerons d'autre
part dans tout le reste de ce paragraphe, que l'échelle & soit telle que le produit
de deux fonctions quelconques de & appartienne encore à € (ce qui est le cas
pour toutes les échelles de comparaison données en exemples (dans V, p. 10).
Soient alors fl, f, des fonctions de #(8, VI) et X(8, V,) respectivement,
admettant par rapport à l'échelle € des développements asymptotiques f1 =
2 a,gh + r,, f, = 2 b,g, + r, à la précision g, et gB respectivement. Suph < a
i*G B
posons en outre que ni les a, ni les b, ne soient tous nuls, et soient a,g, et b,g, les
-
parties principales de f, et f,. Par hypothèse, on peut écrire g,g, = g, et g,g, =
d
g,; montrons que la somme Z[a,.b,]g,g,,
étendue aux couples (A, IL) tels que
gmin (P, < gag,, est un développement asymptotique de [f, . f,] ci la précision gmin (O, O).
En effet, la différence entre [f, . f,] et cette somme est somme d'un nombre fini de
termes, qui sont soit de la forme [a,. b,]g,g, avec gag, « gmin ,,, ,
) ,
soit de la forme
[a,.r,]gA, où À 2 y, soit de la forme [r,. b,]g,, où IJ. 2 8; mais comme [x. y]
est continue, on a (V, p. 3, prop. 3 et V, p. 5, prop. 6) [a,. rB]gII. < rBgh « gBgh = gp
pour A 2 y, et de même [r,. b,]g, < r,g, « g,g, = go pour p 2 8, d'où la
proposition (V, p. 5, prop. 5).
Si tous les ah sont nuls, on a [fl .f,] « g,po, autrement dit, on a un développement
asymptotique de [f, .f2] à termes nuls, à la précision g,g6; de même si tous les ah
et tous les b, sont nuls, on a un développement asymptotique de [fl .f2] à termes nuls,
à la précision g,ge.
On appliquera surtout le résultat précédent au cas où V est une algèbre normée
sur K , et la fonction bilinéaire [x.y] le produit xy dans cette algèbre; les cas les
plus importants sont ceux où V est égal à R ou C.
En particulier, si f, (1 < i < n) sont n fonctions de &(8, K) admettant
chacune un développement asymptotique par rapport à 8, on pourra
obtenir un développement asymptotique par rapport à & pour tout polynôme
1 aV,, . . ,_ f >. . . f ;II par rapport auxf;, à coefficients dans un espace normé V;
(v,)
les règles qui précèdent permettent en outre de déterminer la précision du
développement obtenu, connaissant celles des développements des fonctions J;.
4. Composition des développements asymptotiques
Soit f une fonction de &(8, R) (resp. &(8, C)) admettant un développement
asymptotique à la précision g, par rapport à une échelle 6, et ayant pour limite O