No 2
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V.13
s'il figure plusieurs fonctions dans la démonstration) conformément aux notations
de V, p. 9 et 10.
De deux développements asymptotiques (de deux fonctions distinctes ou
non) relativement à la même échelle 6, on dit que celui dont la précision a le
plus grand indice est leplus précis.
Si 2 ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g,, pour
A < ,
tout < a, 1 ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g ,
A < B
(V, p. 5, prop. 5) : on dit qu'on l'obtient en réduisant à la précision g , le développement donné 1 ahgh de f.
h < a
Si 2 ahgL et b s g h sont des développements asymptotiques à la même
a < ,
précision
de deux fonctions f,, f, 2 (a, + 4 ) g , est un développement
h < a
asymptotiquc de f, + f2 à la précision g, (V, p. 7, prop. 5) et pour tout scalaire
c, 2 a h c h est un développement asymptotique de f,c à la précision g,. On en
hacc
déduit que si une fonction f admet un développcment asymptotique à la précision
g,, ce développement est unique: il suffit de voir que la fonction O ne peut admettre
de développement asymptotique à la précision g, ayant des coefficients # O.
T-.
Or, si O = L ? , a,gh + r,, et si y est le plus petit des indices A < a tel que a, # O,
h sol
on aurait a,g, = - 2 ahgh - r, « g,, ce qui est absurde.
,
g,, dont tous les coefficients sont nuls, équivaut à dire que f « g,. Si f admet un
développement asymptotique C ahgh à àa précision h, dont les coefficients ne
h s a
sont pas tous nuls, et si y est le plus petit des indices A tels que a, # O, a,gy est
la partie principale de f relativement à l'échelle 6, car on a f - a,gy =
2 ahgh + r, « gy; de même, si /L < a est un indice tel que a, # O, a,g,
vih
h < u
Les développements asymptotiques les plus importants dans les applications
sont les dévcloppernents relatifs à l'échelle des x-" (resp. des z-"), où n est entier
positif ou négatif, lorsque .x réel tend vers + CO ou - CO (rcsp. lorsque z complexe
tend vers CO), ou relatifs à l'échelle des (x - c)" (rcsp. (z - 6)") lorsque x réel tend
vers c à droite ou à gauche (resp. lorsque z complexe tend vers c). O n a vu dans 1,
p. 29 que toute fonction vectorielle d'une variable réelle x, k fois dérivable au
point c E R, admet en ce point un développement de Taylor d'ordre k, c'est-à-dire
un développement asymptotique à la précision (x - c)k relatif à l'échelle des
(X - 6)".
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V.13
s'il figure plusieurs fonctions dans la démonstration) conformément aux notations
de V, p. 9 et 10.
De deux développements asymptotiques (de deux fonctions distinctes ou
non) relativement à la même échelle 6, on dit que celui dont la précision a le
plus grand indice est leplus précis.
Si 2 ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g,, pour
A < ,
tout < a, 1 ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g ,
A < B
(V, p. 5, prop. 5) : on dit qu'on l'obtient en réduisant à la précision g , le développement donné 1 ahgh de f.
h < a
Si 2 ahgL et b s g h sont des développements asymptotiques à la même
a < ,
précision
de deux fonctions f,, f, 2 (a, + 4 ) g , est un développement
h < a
asymptotiquc de f, + f2 à la précision g, (V, p. 7, prop. 5) et pour tout scalaire
c, 2 a h c h est un développement asymptotique de f,c à la précision g,. On en
hacc
déduit que si une fonction f admet un développcment asymptotique à la précision
g,, ce développement est unique: il suffit de voir que la fonction O ne peut admettre
de développement asymptotique à la précision g, ayant des coefficients # O.
T-.
Or, si O = L ? , a,gh + r,, et si y est le plus petit des indices A < a tel que a, # O,
h sol
on aurait a,g, = - 2 ahgh - r, « g,, ce qui est absurde.
,
g,, dont tous les coefficients sont nuls, équivaut à dire que f « g,. Si f admet un
développement asymptotique C ahgh à àa précision h, dont les coefficients ne
h s a
sont pas tous nuls, et si y est le plus petit des indices A tels que a, # O, a,gy est
la partie principale de f relativement à l'échelle 6, car on a f - a,gy =
2 ahgh + r, « gy; de même, si /L < a est un indice tel que a, # O, a,g,
vih
h < u
Les développements asymptotiques les plus importants dans les applications
sont les dévcloppernents relatifs à l'échelle des x-" (resp. des z-"), où n est entier
positif ou négatif, lorsque .x réel tend vers + CO ou - CO (rcsp. lorsque z complexe
tend vers CO), ou relatifs à l'échelle des (x - c)" (rcsp. (z - 6)") lorsque x réel tend
vers c à droite ou à gauche (resp. lorsque z complexe tend vers c). O n a vu dans 1,
p. 29 que toute fonction vectorielle d'une variable réelle x, k fois dérivable au
point c E R, admet en ce point un développement de Taylor d'ordre k, c'est-à-dire
un développement asymptotique à la précision (x - c)k relatif à l'échelle des
(X - 6)".