FVR V.12
ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS
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algl - a2g2 entraîne /g, 1 Ig21, et par suite g, = g,, d'où (a, - a,)g, « g,,
et comme g, n'est identiquement nulle dans aucun ensemble de 8, cela entraîne
8, = al.
Si f admct une partie principale relativement à une échelle de comparaison 8,
elle admet ln même partie principale relativement à toute Çchelle de comparaison
8' 3 B.
Exemples. - 1) Pour x réel (resp. complexe) tendant vers + K I (resp. vers KI), tout
polynôme aoxn + a,xn-l + . . - + an à coefficients dans V, tels que a, f O, a pour
partie principale aoxn par rapport à l'échelle des xn (ou de toute échelle contenant les
aOxm + . . + a,
xn). On en déduit que toute fraction rationnelle
à coefficients réels ou
boxn + - . . + bn
complexes tels que aobo # O, a pour partie principale 2 xm-n par rapport à la même
bo
échelle.
2) Une fonction peut être comparable à toutes les fonctions d'une échelle de comparaison sans admettre de partie principale par rapport à cette échelle. Par exemple,
pour x réel tendant vers +CO, 4.: n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle
des xn, où n est entier rationnel; log x n'a pas de partie principale par rapport à
l'échelle des xa (cc réel quelconque) ; e x p ( d G ) et xX = e X 1 O g x n'ont pas de partie
principale par rapport à l'échelle des xa(log x)D, ni par rapport à l'échelle des exp (p(x))
(p polynôme sans terme constant).
La notion de partie principale est susceptible d'une généralisation étendue.
Supposons en effet qu'une fonction f E X ( 3 , V) ait une partie principale a,g,
par rapport à une échelle 8 ; la relation f a,g, équivaut à f - a,g, «g,
(V, p. 6, déf. 4) ; pour étudier de façon plus précise la fonction f, on est donc
amené à considérer la fonction f - a,gl. Si cette fonction a une partie principale
a2g2 par rapport à 8, on aura nécessairement g, « g, et f - a,gl - a2g2 « g2.
D'une façon générale, supposons que l'échelle 8 soit écrite paramétriquement sous la forme (g,), où a parcourt un ensemble d'indices A muni d'une
structure d'ensemble totalement ordonné isomorphe à l' opposée de la structure
d'ordre de 8: la relation K < P est donc équivalente à gD «g,. Dans ces conditions :
DEFINITION 2. - On dit qu' une fonction f E Yi($, V) admet un développement asymptotique à la précision g, (relativement à l'echelle 8) s'il existe une famille (a,),,,
d'éléments de V, nuls sa$ un nombrejni d'entre eux, tels que f - 1 a,g, « L. On dit
,401
2 a,g, est an développement asymptotique de f à la précision &, que les a,g, ( h 6 a)
que,<,
-
sont les termes, les a, les coejicients et la finctions r, = f - 2 a,g, le reste de ce développement.
Pour exprimer que 2 a,g, est un développement asymptotique de f à la précih i ci
sion ga, on se bornera le plus souvent à &rire
ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS
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algl - a2g2 entraîne /g, 1 Ig21, et par suite g, = g,, d'où (a, - a,)g, « g,,
et comme g, n'est identiquement nulle dans aucun ensemble de 8, cela entraîne
8, = al.
Si f admct une partie principale relativement à une échelle de comparaison 8,
elle admet ln même partie principale relativement à toute Çchelle de comparaison
8' 3 B.
Exemples. - 1) Pour x réel (resp. complexe) tendant vers + K I (resp. vers KI), tout
polynôme aoxn + a,xn-l + . . - + an à coefficients dans V, tels que a, f O, a pour
partie principale aoxn par rapport à l'échelle des xn (ou de toute échelle contenant les
aOxm + . . + a,
xn). On en déduit que toute fraction rationnelle
à coefficients réels ou
boxn + - . . + bn
complexes tels que aobo # O, a pour partie principale 2 xm-n par rapport à la même
bo
échelle.
2) Une fonction peut être comparable à toutes les fonctions d'une échelle de comparaison sans admettre de partie principale par rapport à cette échelle. Par exemple,
pour x réel tendant vers +CO, 4.: n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle
des xn, où n est entier rationnel; log x n'a pas de partie principale par rapport à
l'échelle des xa (cc réel quelconque) ; e x p ( d G ) et xX = e X 1 O g x n'ont pas de partie
principale par rapport à l'échelle des xa(log x)D, ni par rapport à l'échelle des exp (p(x))
(p polynôme sans terme constant).
La notion de partie principale est susceptible d'une généralisation étendue.
Supposons en effet qu'une fonction f E X ( 3 , V) ait une partie principale a,g,
par rapport à une échelle 8 ; la relation f a,g, équivaut à f - a,g, «g,
(V, p. 6, déf. 4) ; pour étudier de façon plus précise la fonction f, on est donc
amené à considérer la fonction f - a,gl. Si cette fonction a une partie principale
a2g2 par rapport à 8, on aura nécessairement g, « g, et f - a,gl - a2g2 « g2.
D'une façon générale, supposons que l'échelle 8 soit écrite paramétriquement sous la forme (g,), où a parcourt un ensemble d'indices A muni d'une
structure d'ensemble totalement ordonné isomorphe à l' opposée de la structure
d'ordre de 8: la relation K < P est donc équivalente à gD «g,. Dans ces conditions :
DEFINITION 2. - On dit qu' une fonction f E Yi($, V) admet un développement asymptotique à la précision g, (relativement à l'echelle 8) s'il existe une famille (a,),,,
d'éléments de V, nuls sa$ un nombrejni d'entre eux, tels que f - 1 a,g, « L. On dit
,401
2 a,g, est an développement asymptotique de f à la précision &, que les a,g, ( h 6 a)
que,<,
-
sont les termes, les a, les coejicients et la finctions r, = f - 2 a,g, le reste de ce développement.
Pour exprimer que 2 a,g, est un développement asymptotique de f à la précih i ci
sion ga, on se bornera le plus souvent à &rire