No 2
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 1 1
3) Soit F un espace normé; l'ensemble des fonctions ]lx - alla (a nombre
réel arbitraire) est une échelle de comparaison lorsque 8 est la trace sur le complémentaire de a du filtre des voisinages de ce point. On notera que si p et q sont
deux normes distinctes sur F, la réunion des deux échclles de comparaison formées
des fonctions (P(x - as))@ et (q(x - a))" n'est plus en général une échelle de
comparaison.
4) Pour x réel tendant vers +GO, l'ensemble & des fonctions de la forme
exp(P(x)), où p(x) parcourt l'ensemble des polynômes sans terme constant (à coefficients réels), est une échelle de comparaison: il suffit de remarquer que le quotient de deux fonctions de & appartient encore à &, et qu'une fonction exp(p(x))
tend nécessairement vers O ou + GO si p # O; en effet, on a alors ~ ( x )
- axn,
où n > O et a # O; si CI > O, P(X) > + axn pour x assez grand; si a < O,
p(x) < 4 axn pour x assez grand; dans le premier cas, exp(p(x)) tend vers +CD,
et dans le second cas vers O.
5) Pour x réel tendant vers +GO, l'ensemble & des fonctions de la forme
xE(log x)D (définies pour x > 1)' où a et P sont des nombres réels arbitraires, est
une échelle de comparaison. En effet, ici encore le quotient de deux fonctions de &
est une fonction de 8; il suffit donc de montrer que si a et ( 3 ne sont pas tous
deux nuls, xE(log x ) ~
tend vers O ou vers +CO; c'est évident si ct = O, # O; si
CI > O, on a (log x) - 0 « xu, et si a < O, (log x)O « x-" quel que soit P, d'où la
proposition.
O n observa que cette dernière échelle de comparaison est un ensemble totalement
ordonné (pour la relation a f « g ou f = g n) dont la structure d'ordre est isomorphe
à la structure d'ordre lexicographique de R2 (E, III, p. 23) ; on rappelle que dans cette
structure, la relation (cc, p) < (y, 8) signifie <( cr < y, ou cc = y et P < 8 9).
De même, l'échelle formbe des fonctions exp(p(x)), o ù p parcourt l'ensemble Po
des polynômes sans terme constant, a une structure d'ordre isomorphe à la structure
d'ordre de Po, dans laquelle la rclation p < q signifie que le terme dominant du
polynôme q - p a un coefficient > O (cf. A, VI, $2, no 1. Exemple 2).
- 1
Soit cp une application d'un ensemble F dans E, telle que (~(8) soit une base de
filtre sur F. Si 8 est une échelle de comparaison sur E (pour la base de filtre 3)'
les fonctions f 0 y, où f parcourt 8, forment une échelle de comparaison sur F
(pour la base de filtre @'(s)).
2. Parties principales et développements asymptotiques
Soit 8 une échclle de comparaison formçe de fonctions à valeurs dans un corps
valu6 non discret K. Soit V un espace normé sur Ky et soit f une fonction de
3f(8, V) ; s'il existe une fonction g E 8, et un élément a j O de V tels que f - ag,
on dit que ag est une partie principale de f relativement à l'échelle 8. D'après la
déf. 1 de V, p. 10, f ne peut avoir qu'une seule partie principale relative à 8, car si
gl, g, sont deux fonctions de 8, a,, as, deux éléments # O de V, la relation
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
FVR V. 1 1
3) Soit F un espace normé; l'ensemble des fonctions ]lx - alla (a nombre
réel arbitraire) est une échelle de comparaison lorsque 8 est la trace sur le complémentaire de a du filtre des voisinages de ce point. On notera que si p et q sont
deux normes distinctes sur F, la réunion des deux échclles de comparaison formées
des fonctions (P(x - as))@ et (q(x - a))" n'est plus en général une échelle de
comparaison.
4) Pour x réel tendant vers +GO, l'ensemble & des fonctions de la forme
exp(P(x)), où p(x) parcourt l'ensemble des polynômes sans terme constant (à coefficients réels), est une échelle de comparaison: il suffit de remarquer que le quotient de deux fonctions de & appartient encore à &, et qu'une fonction exp(p(x))
tend nécessairement vers O ou + GO si p # O; en effet, on a alors ~ ( x )
- axn,
où n > O et a # O; si CI > O, P(X) > + axn pour x assez grand; si a < O,
p(x) < 4 axn pour x assez grand; dans le premier cas, exp(p(x)) tend vers +CD,
et dans le second cas vers O.
5) Pour x réel tendant vers +GO, l'ensemble & des fonctions de la forme
xE(log x)D (définies pour x > 1)' où a et P sont des nombres réels arbitraires, est
une échelle de comparaison. En effet, ici encore le quotient de deux fonctions de &
est une fonction de 8; il suffit donc de montrer que si a et ( 3 ne sont pas tous
deux nuls, xE(log x ) ~
tend vers O ou vers +CO; c'est évident si ct = O, # O; si
CI > O, on a (log x) - 0 « xu, et si a < O, (log x)O « x-" quel que soit P, d'où la
proposition.
O n observa que cette dernière échelle de comparaison est un ensemble totalement
ordonné (pour la relation a f « g ou f = g n) dont la structure d'ordre est isomorphe
à la structure d'ordre lexicographique de R2 (E, III, p. 23) ; on rappelle que dans cette
structure, la relation (cc, p) < (y, 8) signifie <( cr < y, ou cc = y et P < 8 9).
De même, l'échelle formbe des fonctions exp(p(x)), o ù p parcourt l'ensemble Po
des polynômes sans terme constant, a une structure d'ordre isomorphe à la structure
d'ordre de Po, dans laquelle la rclation p < q signifie que le terme dominant du
polynôme q - p a un coefficient > O (cf. A, VI, $2, no 1. Exemple 2).
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Soit cp une application d'un ensemble F dans E, telle que (~(8) soit une base de
filtre sur F. Si 8 est une échelle de comparaison sur E (pour la base de filtre 3)'
les fonctions f 0 y, où f parcourt 8, forment une échelle de comparaison sur F
(pour la base de filtre @'(s)).
2. Parties principales et développements asymptotiques
Soit 8 une échclle de comparaison formçe de fonctions à valeurs dans un corps
valu6 non discret K. Soit V un espace normé sur Ky et soit f une fonction de
3f(8, V) ; s'il existe une fonction g E 8, et un élément a j O de V tels que f - ag,
on dit que ag est une partie principale de f relativement à l'échelle 8. D'après la
déf. 1 de V, p. 10, f ne peut avoir qu'une seule partie principale relative à 8, car si
gl, g, sont deux fonctions de 8, a,, as, deux éléments # O de V, la relation