FVR V.10
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
5 2
Avec ces notations, les prop. 1, 2, 3 (V, p. 3) se traduisent comme suit:
si g = O, (f) et h = O(g), alors h = O, (f) ; on peut écrire
n
2 A,O, (J) = On + , (f) (A, scalaires)
i = 1
De même, la prop. 4 (V, p. 5) montre que si g = O,(f) et h = o(g)
(resp. g = o,(f) et h = O(g)), on a h = o,(f), et les prop. 5 et 6 (V, p. 5)
s'expriment sous la forme
n
(3)
i = l
2 &O,( f ) = on + (f) (A, scalaires)
La relation f - g équivaut à f = g i - o(g). La notation O(1) (resp. o(1))
désigne une fonction bornée dans un ensemble de 8 (resp. une fonction tendant
vers O suivant 8).
3 2. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
1. Échelles de comparaison
Soient E un ensemble filtré par un filtre de base 8, et K un corps valué non discret
(le plus souvent K = ou K = C). Dans l'ensemble des fonctions de z ( 8 , K)
non équivalentes à O modulo R, (c'est-à-dire telles que dans tout ensemble de
8, il existe un point au moins où la fonction ne s'annule pas), la relation <( f « g ou
f = g )) est une relation d'ordre.
DÉFINITION 1. - On dit qu'unepartie 8 de Yf(8, K) formée de fonctions non équivalentes à
O modulo R, est une échelle de comparaison lorsque B est totalement ordonnée par la relation
Gf«gouf = g>>.
En d'autres termes, si f et g sont deux fonctions de 8, on a toujours entre f et g
une (et une seule) des trois relations f « g, g «f, f = g. Il s'ensuit que dans 8, la
relation f h g (et a fortiori 1 f 1 N a 1g1, où a est un nombre > 0) entraîne f = g.
Toute partie d'une échelle de comparaison est évidemment une échelle de
comparaison.
Exemples. - 1) Pour x réel tendant vers +co, l'ensemble des fonctions x" (a
nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison. II en est de même des
fonctions (x - a)" lorsque 8 est l'ensemble des intervalles ouverts d'origine a.
2) Pour z complexe tendant vers co, l'ensemble des fonctions zn (n entier
rationnel) est une échelle de comparaison; il en est de même des fonctions ( z - a)n
lorsque 8 est la trace sur le complémentaire du point a E G du filtre des voisinages
de ce point.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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Avec ces notations, les prop. 1, 2, 3 (V, p. 3) se traduisent comme suit:
si g = O, (f) et h = O(g), alors h = O, (f) ; on peut écrire
n
2 A,O, (J) = On + , (f) (A, scalaires)
i = 1
De même, la prop. 4 (V, p. 5) montre que si g = O,(f) et h = o(g)
(resp. g = o,(f) et h = O(g)), on a h = o,(f), et les prop. 5 et 6 (V, p. 5)
s'expriment sous la forme
n
(3)
i = l
2 &O,( f ) = on + (f) (A, scalaires)
La relation f - g équivaut à f = g i - o(g). La notation O(1) (resp. o(1))
désigne une fonction bornée dans un ensemble de 8 (resp. une fonction tendant
vers O suivant 8).
3 2. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
1. Échelles de comparaison
Soient E un ensemble filtré par un filtre de base 8, et K un corps valué non discret
(le plus souvent K = ou K = C). Dans l'ensemble des fonctions de z ( 8 , K)
non équivalentes à O modulo R, (c'est-à-dire telles que dans tout ensemble de
8, il existe un point au moins où la fonction ne s'annule pas), la relation <( f « g ou
f = g )) est une relation d'ordre.
DÉFINITION 1. - On dit qu'unepartie 8 de Yf(8, K) formée de fonctions non équivalentes à
O modulo R, est une échelle de comparaison lorsque B est totalement ordonnée par la relation
Gf«gouf = g>>.
En d'autres termes, si f et g sont deux fonctions de 8, on a toujours entre f et g
une (et une seule) des trois relations f « g, g «f, f = g. Il s'ensuit que dans 8, la
relation f h g (et a fortiori 1 f 1 N a 1g1, où a est un nombre > 0) entraîne f = g.
Toute partie d'une échelle de comparaison est évidemment une échelle de
comparaison.
Exemples. - 1) Pour x réel tendant vers +co, l'ensemble des fonctions x" (a
nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison. II en est de même des
fonctions (x - a)" lorsque 8 est l'ensemble des intervalles ouverts d'origine a.
2) Pour z complexe tendant vers co, l'ensemble des fonctions zn (n entier
rationnel) est une échelle de comparaison; il en est de même des fonctions ( z - a)n
lorsque 8 est la trace sur le complémentaire du point a E G du filtre des voisinages
de ce point.