No 5
COMPARAISON DES FONCTIONS
FVR V.9
DÉFINITION 5. - Soit g une fonction de i f ( & R), strictement positive dans un ensemble
de 8, et telle que limg g = O ou lima g = + m. On dit qu' une fonction f E A?''(& R) est
d'ordre p ($ni ou injini) par rapport à g si on a lim8 log (1 f 1 /log g) = p.
On notera que si f est d'ordre p par rapport à g, f est d'ordre - p par rapport
à l/g; on peut donc considérer uniquement le cas où g(x) tend vers + co suivant 8.
PROPOSITION 12. - Soit g une fonction de j%f(g, W) telle que limg g = + co ; soit f une
fonction de Y f (8, R) .
a) Pour que f soit d'ordre + c n par rapport à g, il faut et il suit que f » g" pour tout
a 3 O.
b) Pour que f soit d'ordre - CO par rapport à g, il faut et il su@ que f « g-"pour tout
a > O.
c) Pour que f soit d'ordrejni et égal à p par rapport à g, il faut et il suit que, pour
tout E > 0 , 0 n a i t g ~ - ~
« f «gP+E.
Démontrons par exemple c). Si l'ordre de f par rapport à g est p, pour tout
E > O, il existe un ensemble M E 8, tel que, pour tout x E M, on ait
ou encore (g(x) 1 0 - i < 1 f (x) < (g(x))~+Z; comme limg g = + m, on a donc
« f
pour tout E > O; la réciproque est immédiate. Les démonstrations de a) et b) sont analogues.
On notera que si f cst d'ordrejni p par rapport à g, fg-0 est d'ordre O par rapport à g, et réciproquement; si f, (resp. f,) est d'ordre pl (resp.
par rapport à
g, et si pl + pz est défini, f, f, est d'ordre pl + p, par rapport àg.
Remarques. - 1) O n obscrvcra que lorsque f est d'ordre fini p par rapport à g, le
rapportf/gP ne tend pas nécessairement vcrs unc limite; par exemple, toute fonction
logarithmiquement bornée est d'ordrc O par rapport à g, mais n'a pas nécessairement de
limitc suivant 8.
2) Une fonction f définie dans un ensemble de 8 n'a pas nécessairement un ordre
déterminé (fini ou non) par rapport à g, car les fonctions ayant un ordre déterminé
par rapport à g sont comparables à toutes les puissances de g, sauf une au plus. Or, f
n'a pas nécessairement cette propriété, comme on le voit sur l'exemple g(x) = x,
f ( x ) = 1 f x2 sin2 x (x tendant vers +CO). Dans cct exemple, f est comparable à ga
pour cc < O et cc > 2; si on prenait f (x) = e" sin2 x + e-" cos2x, f ne serait comparable à aucune puissance (positive ou négative) de g.
5. Notations
Étant donnée une fonction numérique f E Z(8, Ha), il est souvent commode, dans
une formule, de noter O( f ) une fonction dominée par f, et O ( f ) une fonction
négligeable devant f. Lorsque, dans une démonstration, interviennent plusieurs
fonctions dominées par une même fonction f (resp. négligeables devant f ) , on les
notera O1 (f), O2 (f), etc. (resp. 01 ( f ) , 02 (S), etc.)
Beaucoup d'auteurs notent indistinctement O( f ) (resp. O ( f ) ) toutes les fonctions
intervenant dans une démonstration et dominées par f (rcsp. négligeables devant f ) ,
par un abus de langapc qui n'est pas sans créer dcs risques de confusion.
COMPARAISON DES FONCTIONS
FVR V.9
DÉFINITION 5. - Soit g une fonction de i f ( & R), strictement positive dans un ensemble
de 8, et telle que limg g = O ou lima g = + m. On dit qu' une fonction f E A?''(& R) est
d'ordre p ($ni ou injini) par rapport à g si on a lim8 log (1 f 1 /log g) = p.
On notera que si f est d'ordre p par rapport à g, f est d'ordre - p par rapport
à l/g; on peut donc considérer uniquement le cas où g(x) tend vers + co suivant 8.
PROPOSITION 12. - Soit g une fonction de j%f(g, W) telle que limg g = + co ; soit f une
fonction de Y f (8, R) .
a) Pour que f soit d'ordre + c n par rapport à g, il faut et il suit que f » g" pour tout
a 3 O.
b) Pour que f soit d'ordre - CO par rapport à g, il faut et il su@ que f « g-"pour tout
a > O.
c) Pour que f soit d'ordrejni et égal à p par rapport à g, il faut et il suit que, pour
tout E > 0 , 0 n a i t g ~ - ~
« f «gP+E.
Démontrons par exemple c). Si l'ordre de f par rapport à g est p, pour tout
E > O, il existe un ensemble M E 8, tel que, pour tout x E M, on ait
ou encore (g(x) 1 0 - i < 1 f (x) < (g(x))~+Z; comme limg g = + m, on a donc
« f
pour tout E > O; la réciproque est immédiate. Les démonstrations de a) et b) sont analogues.
On notera que si f cst d'ordrejni p par rapport à g, fg-0 est d'ordre O par rapport à g, et réciproquement; si f, (resp. f,) est d'ordre pl (resp.
par rapport à
g, et si pl + pz est défini, f, f, est d'ordre pl + p, par rapport àg.
Remarques. - 1) O n obscrvcra que lorsque f est d'ordre fini p par rapport à g, le
rapportf/gP ne tend pas nécessairement vcrs unc limite; par exemple, toute fonction
logarithmiquement bornée est d'ordrc O par rapport à g, mais n'a pas nécessairement de
limitc suivant 8.
2) Une fonction f définie dans un ensemble de 8 n'a pas nécessairement un ordre
déterminé (fini ou non) par rapport à g, car les fonctions ayant un ordre déterminé
par rapport à g sont comparables à toutes les puissances de g, sauf une au plus. Or, f
n'a pas nécessairement cette propriété, comme on le voit sur l'exemple g(x) = x,
f ( x ) = 1 f x2 sin2 x (x tendant vers +CO). Dans cct exemple, f est comparable à ga
pour cc < O et cc > 2; si on prenait f (x) = e" sin2 x + e-" cos2x, f ne serait comparable à aucune puissance (positive ou négative) de g.
5. Notations
Étant donnée une fonction numérique f E Z(8, Ha), il est souvent commode, dans
une formule, de noter O( f ) une fonction dominée par f, et O ( f ) une fonction
négligeable devant f. Lorsque, dans une démonstration, interviennent plusieurs
fonctions dominées par une même fonction f (resp. négligeables devant f ) , on les
notera O1 (f), O2 (f), etc. (resp. 01 ( f ) , 02 (S), etc.)
Beaucoup d'auteurs notent indistinctement O( f ) (resp. O ( f ) ) toutes les fonctions
intervenant dans une démonstration et dominées par f (rcsp. négligeables devant f ) ,
par un abus de langapc qui n'est pas sans créer dcs risques de confusion.