FVR V.8
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
$ 1
PROPOSITION 9. - Soient f et g deux fonctions de Z ( 8 , W) strictement positives dans un
ensemble de 8. Pour que f et g soient comparables, il faut et il s u ~ t
que pour tout nombre
t 3 O, sauf un au plus, la fonction f - tg garde un signe constant1 dans un ensemble de 8.
La condition est nécessaire. En effet, si f « g, on a f - tg - -tg sauf pour
t = O, donc f - tg est strictement négative dans un ensemble de 3, sauf pour t =
0; si f » g, f - tg est strictcrnent positive dans un ensemble de 8 pour tout t ;
enfin, si f - k.g (k constante > O), f - tg (k - t)g sauf pour t = k'donc, sauf
peut-être pour t = k, f - tg a le signe de k - t dans un ensemble de 8.
La condition est suffisante. En effet, supposons que le rapport f /g ait deux
valeurs d'adhérence distinctes a < P suivant 5. Pour tout nombre t tel que
a < t < p, il existe alors dans tout ensemble X E 8, deux points xl, x2 tels que
f (xl)/g(xl) < t et f (x2)1g(x2) > t ; donc f ( x ) - tg(x) ne garde pas un signe
constant dans X; nous arrivons à une conclusion incompatible avec l'hypothèse.
Il s'ensuit queflg n'a qu'une seule valeur d'adhérence (finie ou infinie) suivant le
filtre de base 8, et par suite (TG, 1, p. 60, corollaire) a pour limite cette valeur
suivant 5.
PROPOSITION 10. - Soient f et g deux fonctions de x(8, R) strictementpositives dans un
ensemble de 8 ; pour tout a réel et # 0, la relation f x g (resp. f - g) est équivalente à
f" U- g" (resp. f" - g") ; s i x > O, la relation f g (resp. f (i g) est équivalente àf" 4 g"
(resp. f" « g") ; si a < O, elle est équivalente d f" > g" (resp. f" » g").
Les démonstrations sont immédiates.
O n notcra que dans Yi($, R), l'ensemble ï dcs fonctions strictement positivcs
dans u n ensemble d e 3 cst tel que ï / K , soit un groupz multiplicaiij r, dans airn (8, 8) ;
ï / R , est idcntique au groupe quotient d e ï, par le sous-groupe des classcs (mod.
R,) des fonctions d e ï logarithmiqucment bornées; sur ï/R,, l a relation d'ordre
dCduite d e la relation f $ g par passage aux quotients est conzfiatible avec l a structure
de groupe de ï/R,, et en fait donc u n groupe ordonné.
PROPOSITION 11. .- Soit g une fonction de Z ( 8 , la) telle que lim8 g = -t co; la relation
f « g entraîne ef « eg; la relation f - g entraine log f - log g.
En effet, si f «g, f - g = g
tend vers -co suivant 8. De même, si
f
f - g, on a log f = log g + log -, donc log f - log g tend vers O, et il en est de
g
1% f
même de - -- 1 = log f - 1% g.
log g
1% g
Par contre, on notcra que la relation f N g n'entraîne pas ef N eg, ni même ef =C eg,
comme le montre l'exemple où f (x) = x2, g(x) = x2 i- x, x tendant vers + co; d e
même, l a relation f (i g n'entraîne pas log f « log g, comme le montre l'exemple où
f (x) = X, g(x) = x2, x tendant vers + m .
1 On rappelle qu'on a défini le signe sgn x d'un nombre réel x comme égal à $. 1 si x > 0, à - 1
si x < O, à O si x = O (TG, IV, p. 12). Dire qu'une fonction numérique garde un signe constant dans
un ensemble signifie donc, soit qu'elle est > O en tout point de cet ensemble, soit qu'elle est < O
en tout point de l'ensemble, soit enfin qu'elle est identiquement nulle dans l'ensemble.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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PROPOSITION 9. - Soient f et g deux fonctions de Z ( 8 , W) strictement positives dans un
ensemble de 8. Pour que f et g soient comparables, il faut et il s u ~ t
que pour tout nombre
t 3 O, sauf un au plus, la fonction f - tg garde un signe constant1 dans un ensemble de 8.
La condition est nécessaire. En effet, si f « g, on a f - tg - -tg sauf pour
t = O, donc f - tg est strictement négative dans un ensemble de 3, sauf pour t =
0; si f » g, f - tg est strictcrnent positive dans un ensemble de 8 pour tout t ;
enfin, si f - k.g (k constante > O), f - tg (k - t)g sauf pour t = k'donc, sauf
peut-être pour t = k, f - tg a le signe de k - t dans un ensemble de 8.
La condition est suffisante. En effet, supposons que le rapport f /g ait deux
valeurs d'adhérence distinctes a < P suivant 5. Pour tout nombre t tel que
a < t < p, il existe alors dans tout ensemble X E 8, deux points xl, x2 tels que
f (xl)/g(xl) < t et f (x2)1g(x2) > t ; donc f ( x ) - tg(x) ne garde pas un signe
constant dans X; nous arrivons à une conclusion incompatible avec l'hypothèse.
Il s'ensuit queflg n'a qu'une seule valeur d'adhérence (finie ou infinie) suivant le
filtre de base 8, et par suite (TG, 1, p. 60, corollaire) a pour limite cette valeur
suivant 5.
PROPOSITION 10. - Soient f et g deux fonctions de x(8, R) strictementpositives dans un
ensemble de 8 ; pour tout a réel et # 0, la relation f x g (resp. f - g) est équivalente à
f" U- g" (resp. f" - g") ; s i x > O, la relation f g (resp. f (i g) est équivalente àf" 4 g"
(resp. f" « g") ; si a < O, elle est équivalente d f" > g" (resp. f" » g").
Les démonstrations sont immédiates.
O n notcra que dans Yi($, R), l'ensemble ï dcs fonctions strictement positivcs
dans u n ensemble d e 3 cst tel que ï / K , soit un groupz multiplicaiij r, dans airn (8, 8) ;
ï / R , est idcntique au groupe quotient d e ï, par le sous-groupe des classcs (mod.
R,) des fonctions d e ï logarithmiqucment bornées; sur ï/R,, l a relation d'ordre
dCduite d e la relation f $ g par passage aux quotients est conzfiatible avec l a structure
de groupe de ï/R,, et en fait donc u n groupe ordonné.
PROPOSITION 11. .- Soit g une fonction de Z ( 8 , la) telle que lim8 g = -t co; la relation
f « g entraîne ef « eg; la relation f - g entraine log f - log g.
En effet, si f «g, f - g = g
tend vers -co suivant 8. De même, si
f
f - g, on a log f = log g + log -, donc log f - log g tend vers O, et il en est de
g
1% f
même de - -- 1 = log f - 1% g.
log g
1% g
Par contre, on notcra que la relation f N g n'entraîne pas ef N eg, ni même ef =C eg,
comme le montre l'exemple où f (x) = x2, g(x) = x2 i- x, x tendant vers + co; d e
même, l a relation f (i g n'entraîne pas log f « log g, comme le montre l'exemple où
f (x) = X, g(x) = x2, x tendant vers + m .
1 On rappelle qu'on a défini le signe sgn x d'un nombre réel x comme égal à $. 1 si x > 0, à - 1
si x < O, à O si x = O (TG, IV, p. 12). Dire qu'une fonction numérique garde un signe constant dans
un ensemble signifie donc, soit qu'elle est > O en tout point de cet ensemble, soit qu'elle est < O
en tout point de l'ensemble, soit enfin qu'elle est identiquement nulle dans l'ensemble.