No 3
COMPARAISON DES FONCTIONS
F' VR V.7
Par contre, nous avons donné dans V, p. 4, un exemple où on avait f, = g,,
fi - gz, mais où la relation f, + fi=: g, + g, n'était pas vraie (ni a fortiori
Les relations de comparaison f « g, f g sont dites relations fortes. Deux
fonctions f, ,a de x ( 8 , V) sont dites comparables (ou fortement cornparabla lorsqu'on
veut éviter des confusions possibles) si elles vérifient l'une des trois relations:
f « g , f > g , o u ( ( i l e x i s t e h # Otelquef - gha.
Remarques. - 1 ) Deux fonctions peuvent être faiblement comparables sans être
fortement comparables, par exemple les fonctions 1 et sin x lorsque x tend vers + W .
2) La défniiion des relations de comparaison f, < fi et f, « f, ne fait intervenir
qu'en apparence les normes sur les espaces VI, V, où fl et fi prennent respectivement
leurs valeurs; elle ne dépcnd en réalité que dcs toflologies de V1 et V,, car les relations
f, < f2 et f, « f, sont remplacées par des relations équivalentes lorsqu'on remplace
la norme sur VI ou V, par une norme équivalente (TG, IX, p. 32, def. 7).
3. Changement de variables
- 1
Soit rg une application d'un ensemble E' dans E, telle que cp (8) soit unc base de
filtre sur E'. Il est clair que si fl, f2 sont des fonctions de Y?'(%, VI) et i f' ($,
V2)
respectivement, les fonctions fl 0 cp, f2 0 y appartiennent respectivement a
%'($(8), VI) et A?($(B), V,), et que la relation f, < f2 (resp. fl « f2) est
équivalente à 9; 0 cp < f2 0 cp (resp. f1 0 cp « B;; 0 cp).
4. Relations de comparaison entre fonctiomns strictement positives
Soit g une fonction de Z ( 8 , R), strictement positive dans un ensemble de 8. Les relations de comparaison où figure g peuvent alors se formuler d'une autre manière:
la relation f « g équivaut à dire que la fonction I/f 1 1 /g (qui est définie dans un
ensemble de 8) est bornée dans u n ensemble de 8; la relation f « g équivaut à
dire que l]fll/g tend vers O suivant 8. Si f est une fonction de 2 ( 3 ,
f =r g signifie que f /g est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8, et la
relation f - g, queJ/g tend vers 1 suivant 8. Si f est une fonction de Z ( 8 , R)
positive dans un ensemble de 8, dire que f et g sont cornparablez signifie donc que
f /g tend vers une limite (jnie ou égale d + co) suivant 8,
COMPARAISON DES FONCTIONS
F' VR V.7
Par contre, nous avons donné dans V, p. 4, un exemple où on avait f, = g,,
fi - gz, mais où la relation f, + fi=: g, + g, n'était pas vraie (ni a fortiori
Les relations de comparaison f « g, f g sont dites relations fortes. Deux
fonctions f, ,a de x ( 8 , V) sont dites comparables (ou fortement cornparabla lorsqu'on
veut éviter des confusions possibles) si elles vérifient l'une des trois relations:
f « g , f > g , o u ( ( i l e x i s t e h # Otelquef - gha.
Remarques. - 1 ) Deux fonctions peuvent être faiblement comparables sans être
fortement comparables, par exemple les fonctions 1 et sin x lorsque x tend vers + W .
2) La défniiion des relations de comparaison f, < fi et f, « f, ne fait intervenir
qu'en apparence les normes sur les espaces VI, V, où fl et fi prennent respectivement
leurs valeurs; elle ne dépcnd en réalité que dcs toflologies de V1 et V,, car les relations
f, < f2 et f, « f, sont remplacées par des relations équivalentes lorsqu'on remplace
la norme sur VI ou V, par une norme équivalente (TG, IX, p. 32, def. 7).
3. Changement de variables
- 1
Soit rg une application d'un ensemble E' dans E, telle que cp (8) soit unc base de
filtre sur E'. Il est clair que si fl, f2 sont des fonctions de Y?'(%, VI) et i f' ($,
V2)
respectivement, les fonctions fl 0 cp, f2 0 y appartiennent respectivement a
%'($(8), VI) et A?($(B), V,), et que la relation f, < f2 (resp. fl « f2) est
équivalente à 9; 0 cp < f2 0 cp (resp. f1 0 cp « B;; 0 cp).
4. Relations de comparaison entre fonctiomns strictement positives
Soit g une fonction de Z ( 8 , R), strictement positive dans un ensemble de 8. Les relations de comparaison où figure g peuvent alors se formuler d'une autre manière:
la relation f « g équivaut à dire que la fonction I/f 1 1 /g (qui est définie dans un
ensemble de 8) est bornée dans u n ensemble de 8; la relation f « g équivaut à
dire que l]fll/g tend vers O suivant 8. Si f est une fonction de 2 ( 3 ,
f =r g signifie que f /g est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8, et la
relation f - g, queJ/g tend vers 1 suivant 8. Si f est une fonction de Z ( 8 , R)
positive dans un ensemble de 8, dire que f et g sont cornparablez signifie donc que
f /g tend vers une limite (jnie ou égale d + co) suivant 8,