F V R V.6
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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PROPOSITION 7. - Si f et g sont deux fonctions de A?@, V ) , la relation f - g « f est
équivalente à f - g « g.
En effet, f - C; « f signifie que, pour tout E > O, il existe X E 8 tel que
Ilf ( x ) - g ( x ) 1 1 < ~ l l f
( x ) I I pour tout x E X. O n en tire ( 1 - E ) ] l f ( x ) II < llg(x) 11,
et par suite f < g , d'où (p. 5, prop. 4) f - g « g.
COROLLAIRE. - L a relation f - g « f est une relation d'équivalence dans Z ( 3 , V ) .
En effet, si f - g « f et g - h « g, on a f - g « g, d'où (V, p. 5 , prop. 5 )
f - h « g, et par suite, comme g < f, f - h < f, ce qui montre que la relation
considérée est transitive; elle est symétrique d'après la prop. 7 et est évidemment
réflexive, d'où le corollaire.
DÉFINITION 4. - Étant données deuxfonctions f, g de Af(5, V ) , on dit que f et g sont
équivalentes (suivant 8) et on écrit f - g si on a f - g « f.
La relation f - g entraîne f x g , mais ne lui est pas équivalente.
Exemples. - 1) Si a est une fonction constante et # O dans E, la relation if - a
signifie que f tend vers a suivant 8.
2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) =
aoxn + a , x n - l + - - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V,
tel que aO # O. On a f ( x ) N aoxn lorsque 1x1 tend vers + a.
, \
3) Lorsque x réel tend vers + m, on a (1 + 2) sin x - sin x.
4) Lorsque la variabie complexe z tend vers O, on a ez - 1 N z. Plus généralement,
si V est un espace normé sur un corps valué K, f une fonction définie dans un voisinage de xo E K, à valeurs dans V , et admettant au point xo une dérivée f f ( x o ) # O,
on a, lorsque x tend vers xo, f ( x ) - f (x,) f ' ( x O ) ( x - xO) (1, p. 2 , défi 1).
5) Lorsque (x, y ) tend vers (O, O) dans R2, on a
dsin2 x + sin2 y N d m .
6) Soit f (x, y ) un polynômc à coefficients réels par rapport à deux variables réelles
x, y , n'ayant pas de terme constant. Si, lorsque x tend vers O en restant > O, il existe
une fonction q ( x ) continue dans un intervalle (O, a) et telle que q(O) = O et
f (x, q ( x ) ) = O pour O < x < a, on peut montrer qu'il existe un nombre rationnel r
et un nombre réel h # O tels que y ( x ) - hxr ( V , p. 48, exerc. 3).
7) Pour tout x > O, soit x ( x ) le nombre des nombres premiers qui sont < x ; on
a démontré que, lorsque x tend vers + co, on a n ( x ) N x/log xl.
Remarque. - O n
notera que la relation f N g ne signifie nullement que la
différence f - g tende vers O suivant 8 ; cette différence peut même être non bornée,
comme le montre l'exemple x2 + x N x2, x tendant vers + W .
PROPOSITION 8. - Soient K un corps valué, f,, f,, g,, g, quatre fonctions de Y i ( & K) ;
les relations f,
g1 et f, - g2 entrainent f , f2 - g1g2.
l Voir par exemple A. E. INGHAM, TXe distribution of prime numbers (Cambridge tracts, no 30),
Cambridge University Press, 1932.
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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PROPOSITION 7. - Si f et g sont deux fonctions de A?@, V ) , la relation f - g « f est
équivalente à f - g « g.
En effet, f - C; « f signifie que, pour tout E > O, il existe X E 8 tel que
Ilf ( x ) - g ( x ) 1 1 < ~ l l f
( x ) I I pour tout x E X. O n en tire ( 1 - E ) ] l f ( x ) II < llg(x) 11,
et par suite f < g , d'où (p. 5, prop. 4) f - g « g.
COROLLAIRE. - L a relation f - g « f est une relation d'équivalence dans Z ( 3 , V ) .
En effet, si f - g « f et g - h « g, on a f - g « g, d'où (V, p. 5 , prop. 5 )
f - h « g, et par suite, comme g < f, f - h < f, ce qui montre que la relation
considérée est transitive; elle est symétrique d'après la prop. 7 et est évidemment
réflexive, d'où le corollaire.
DÉFINITION 4. - Étant données deuxfonctions f, g de Af(5, V ) , on dit que f et g sont
équivalentes (suivant 8) et on écrit f - g si on a f - g « f.
La relation f - g entraîne f x g , mais ne lui est pas équivalente.
Exemples. - 1) Si a est une fonction constante et # O dans E, la relation if - a
signifie que f tend vers a suivant 8.
2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) =
aoxn + a , x n - l + - - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V,
tel que aO # O. On a f ( x ) N aoxn lorsque 1x1 tend vers + a.
, \
3) Lorsque x réel tend vers + m, on a (1 + 2) sin x - sin x.
4) Lorsque la variabie complexe z tend vers O, on a ez - 1 N z. Plus généralement,
si V est un espace normé sur un corps valué K, f une fonction définie dans un voisinage de xo E K, à valeurs dans V , et admettant au point xo une dérivée f f ( x o ) # O,
on a, lorsque x tend vers xo, f ( x ) - f (x,) f ' ( x O ) ( x - xO) (1, p. 2 , défi 1).
5) Lorsque (x, y ) tend vers (O, O) dans R2, on a
dsin2 x + sin2 y N d m .
6) Soit f (x, y ) un polynômc à coefficients réels par rapport à deux variables réelles
x, y , n'ayant pas de terme constant. Si, lorsque x tend vers O en restant > O, il existe
une fonction q ( x ) continue dans un intervalle (O, a) et telle que q(O) = O et
f (x, q ( x ) ) = O pour O < x < a, on peut montrer qu'il existe un nombre rationnel r
et un nombre réel h # O tels que y ( x ) - hxr ( V , p. 48, exerc. 3).
7) Pour tout x > O, soit x ( x ) le nombre des nombres premiers qui sont < x ; on
a démontré que, lorsque x tend vers + co, on a n ( x ) N x/log xl.
Remarque. - O n
notera que la relation f N g ne signifie nullement que la
différence f - g tende vers O suivant 8 ; cette différence peut même être non bornée,
comme le montre l'exemple x2 + x N x2, x tendant vers + W .
PROPOSITION 8. - Soient K un corps valué, f,, f,, g,, g, quatre fonctions de Y i ( & K) ;
les relations f,
g1 et f, - g2 entrainent f , f2 - g1g2.
l Voir par exemple A. E. INGHAM, TXe distribution of prime numbers (Cambridge tracts, no 30),
Cambridge University Press, 1932.