No 2
COMPARAISON DES FONCTIONS
FVR V . 5
2. Relations d e coppîp;araisoni: II. Relations f o r t e s
DÉFINITION 3. - Étant données deuxfonctions numériquesf, g appartenant à Y i ( 8 , Ha)
et qui sont 3 O dans un ensemble de 8 , on dit que f est négligeable devant g, ou que g est
prépondérante sur f (suivant B), et on écrit f « g ou g » f si, pour tout E > O, il existe
un ensemble X E 8 tel que f (t) 6 ~ g ( t )
pour tout t E X .
Étant donnés deux espaces normés V I , V,, et deux fonctions fl, f2 appartenant respectivement à Z ( 8 , V I ) et Y f ( 8 , V,), on dit que f, est négligeable devant f2 (suivant 8 )
etonécritf, « f , o u f , »f,siona l]P;II « IlfJ.
Pour tout scalaire A # O, la relation f1 « f,h est équivalente à fl « f,. L a relation fl « f2 entraîne fl « f,, mais ne lui est pas équivalente.
On notera que la relation f, 4 f, n'entrainc nullement la relation f, 4 f2 ou
f, =: f, >>: on a sin x < 1 lorsque x tend vers + w, mais aucune des relations sin x 4 1,
sin x=i 1 n'est vraie.
Exemples. - 1 ) L a relation f « 1 signifie que f tend vers O suivant 8.
2) Lorsque cr et P sont deux nombres réels tels que cr < P, on a x" < xB lorsque x
tend vers +m. De mêmc, lorsque m et n sont deux entiers rationncls tels que m < n,
on a zm « zn lorsque le nombre complexe z tend vers W.
3) Lorsquc x tend vers + co, on a xn « ex pour tout entier n (III, p. 16).
4) Dans R2, on a, lorsque (x, y) tend vers (O, 0)
Les propositions suivantes se déduisent immédiatement de la déf. 3 :
PROPOSITION 4. - S i f , g, h sont trois fonctions de Z ( 8 , ), les relations f < g et g « h
(resp. f « g et g < h) entrafnent f « h.
PROPOSITION 5. - Soient fl, f, deux fonctions de Y i ( & V ) , g une fonction de p ( 8 , W ) .
Les relations f1 « g et f, « g entrafnent f, $. f, « g.
D'autre part, le m ê m e raisonnement que pour la prop. 3 de V , p. 3, montre
que :
PROPOSITION 6. - Avec les notations de la prop. 3, les relations f1 «gl et f, < g,
(resp. f, < g, et f2 « g,) entraînent [f, . f,] « g,g,.
La prop. 4 montre que la relation f « g entre fonctions de S ( 8 , V) est transitive;
mais elle n'est pas réjfexive: de façon précise, la relation f < f entraîne que f est nulle
dans un ensemble de 8 (autrement dit, f est équivalente à O modulo R,); cn effet,
pour un E tel que O < E < 1 il existe X E 8 tel que Ijf(x) 11 < ~llf (x) 1 1 pour tout
x E X , ce qui n'est possible que si f (x) = O pour tout x E X. Il en résulte que la relation
<( f « g et g « f D est transitive et symétrique, mais non réflexive: cc n'est donc pas
une relation d'équivalence (elle signifie qu'il existc un ensemble X € 8 tel que
f(x) = g(x) = Opour toutx E X).
COMPARAISON DES FONCTIONS
FVR V . 5
2. Relations d e coppîp;araisoni: II. Relations f o r t e s
DÉFINITION 3. - Étant données deuxfonctions numériquesf, g appartenant à Y i ( 8 , Ha)
et qui sont 3 O dans un ensemble de 8 , on dit que f est négligeable devant g, ou que g est
prépondérante sur f (suivant B), et on écrit f « g ou g » f si, pour tout E > O, il existe
un ensemble X E 8 tel que f (t) 6 ~ g ( t )
pour tout t E X .
Étant donnés deux espaces normés V I , V,, et deux fonctions fl, f2 appartenant respectivement à Z ( 8 , V I ) et Y f ( 8 , V,), on dit que f, est négligeable devant f2 (suivant 8 )
etonécritf, « f , o u f , »f,siona l]P;II « IlfJ.
Pour tout scalaire A # O, la relation f1 « f,h est équivalente à fl « f,. L a relation fl « f2 entraîne fl « f,, mais ne lui est pas équivalente.
On notera que la relation f, 4 f, n'entrainc nullement la relation f, 4 f2 ou
f, =: f, >>: on a sin x < 1 lorsque x tend vers + w, mais aucune des relations sin x 4 1,
sin x=i 1 n'est vraie.
Exemples. - 1 ) L a relation f « 1 signifie que f tend vers O suivant 8.
2) Lorsque cr et P sont deux nombres réels tels que cr < P, on a x" < xB lorsque x
tend vers +m. De mêmc, lorsque m et n sont deux entiers rationncls tels que m < n,
on a zm « zn lorsque le nombre complexe z tend vers W.
3) Lorsquc x tend vers + co, on a xn « ex pour tout entier n (III, p. 16).
4) Dans R2, on a, lorsque (x, y) tend vers (O, 0)
Les propositions suivantes se déduisent immédiatement de la déf. 3 :
PROPOSITION 4. - S i f , g, h sont trois fonctions de Z ( 8 , ), les relations f < g et g « h
(resp. f « g et g < h) entrafnent f « h.
PROPOSITION 5. - Soient fl, f, deux fonctions de Y i ( & V ) , g une fonction de p ( 8 , W ) .
Les relations f1 « g et f, « g entrafnent f, $. f, « g.
D'autre part, le m ê m e raisonnement que pour la prop. 3 de V , p. 3, montre
que :
PROPOSITION 6. - Avec les notations de la prop. 3, les relations f1 «gl et f, < g,
(resp. f, < g, et f2 « g,) entraînent [f, . f,] « g,g,.
La prop. 4 montre que la relation f « g entre fonctions de S ( 8 , V) est transitive;
mais elle n'est pas réjfexive: de façon précise, la relation f < f entraîne que f est nulle
dans un ensemble de 8 (autrement dit, f est équivalente à O modulo R,); cn effet,
pour un E tel que O < E < 1 il existe X E 8 tel que Ijf(x) 11 < ~llf (x) 1 1 pour tout
x E X , ce qui n'est possible que si f (x) = O pour tout x E X. Il en résulte que la relation
<( f « g et g « f D est transitive et symétrique, mais non réflexive: cc n'est donc pas
une relation d'équivalence (elle signifie qu'il existc un ensemble X € 8 tel que
f(x) = g(x) = Opour toutx E X).