FVR V.4
ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS
§ 1
COROLLAIRE. - Si V est une algèbre norriée, f,, f2 deux fonctions de df(8, V), g,, g,
deux fonctions de 2 ( 8 , R), les relations f, & g,, f2 & g2 entraînent f,f2 < g,g,.
La relation f & g entre fonctions de Z(5, V) est transitive d'après la prop 1 ;
comme elle est réJIexive, la relation (< f < g et g < f D est une relation d'équivalence
dans Z(8, V) (E, II, p. 40).
DÉFINITION 2. - Étant données deux fonctions f, g de Yi($, V), on dit que f et g sont
semblables (suivant 8) et on écrit f x g si on a f & g et g & 8:
Pour tout scalaire A # O, la relation f x g est équivalente à f =: gA. Elle
entraîne l'existence d'un ensemble X E 8 tel que la partie de X formée des points
où f (x) = O soit identique à la partie de X formée des points où g(x) = O.
Exemples. - 1) Pour une fonction numérique f E Z ( 8 , R), la relation f 1
signifie qu'il existe deux nombres a > O, b > O tels que a < 1 f (x) 1 < b dans un
ensemble de 8, ou encore que la fonction log 1 f 1 est bornée dans un ensemble de 8:
on dit alors que f est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8.
2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) =
aoxn + alxn-1 + . - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V ,
tel que a, f O. Pour tout vecteur b f O, on a f ( x ) h b x n lorsque 1x1 tend vers +m.
3) Nous avons vu qu'on a sin2 x < sin x lorsque x tend vers + CO, mais on n'a
pas sin2x == sin x, bien que ces deux fonctions s'annulent aux mêmes points.
4) O n a x2 + xy + y2 =< x2 + y2 lorsque (x, y) tend vers (O, O) dans W2, mais
non xy k: x2 + y2.
Il résulte aussitôt de la prop. 3 de V, p. 3, que si f,, f2, p.,, g, sont des fonctions
de X(3, K) (K corps valué quelconque), les relations f, x g, et f2 =: g2 entraînent f, f, == g,g2.
O n notera par contre que lcs relations f l h g,, f , ~
g, n'entraînent pas
f i + y 2 h gl + g2, comme le montre l'exemple où f,(x) = gl(x) = x2, f 2 ( x ) =
- (x2 + x ) , g2(x) = - (x2 - l), .X réel tendant vers + co.
Les relations de comparaison f ,< g, f x g sont dites relations faibles. On dit
que deux fonctions f, g de A?($, V) sont faiblement conzparables si elles vérifient
lbne (au moins) des deux relations f ,< g, g < f.
Remarques. - 1 ) Dcux fonctions dc Z ( 8 , W) nc sont pas nécessairement faiblement
comparables, commc le montre l'exemple des fonctions 1 et x sin x lorsque x tend vers
+ W .
2) Désignons par Rn la relation f x g dans ( 2 8 , V), et par Sn(%, V) l'ensemble
quotient 2($, V ) / R o ; on notera que la relation R, entraîne R,. Par passage au
quotient, la relation f < g donne, d'après la prop. 1 de V, p. 3, une relation d'ordre dans
;/Po@, V ) (E, III, p. 3 ) ; l'exemple qui précède prouve que ZO(& V ) n'est pas totalement ordonné par cette relation.
ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS
§ 1
COROLLAIRE. - Si V est une algèbre norriée, f,, f2 deux fonctions de df(8, V), g,, g,
deux fonctions de 2 ( 8 , R), les relations f, & g,, f2 & g2 entraînent f,f2 < g,g,.
La relation f & g entre fonctions de Z(5, V) est transitive d'après la prop 1 ;
comme elle est réJIexive, la relation (< f < g et g < f D est une relation d'équivalence
dans Z(8, V) (E, II, p. 40).
DÉFINITION 2. - Étant données deux fonctions f, g de Yi($, V), on dit que f et g sont
semblables (suivant 8) et on écrit f x g si on a f & g et g & 8:
Pour tout scalaire A # O, la relation f x g est équivalente à f =: gA. Elle
entraîne l'existence d'un ensemble X E 8 tel que la partie de X formée des points
où f (x) = O soit identique à la partie de X formée des points où g(x) = O.
Exemples. - 1) Pour une fonction numérique f E Z ( 8 , R), la relation f 1
signifie qu'il existe deux nombres a > O, b > O tels que a < 1 f (x) 1 < b dans un
ensemble de 8, ou encore que la fonction log 1 f 1 est bornée dans un ensemble de 8:
on dit alors que f est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8.
2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) =
aoxn + alxn-1 + . - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V ,
tel que a, f O. Pour tout vecteur b f O, on a f ( x ) h b x n lorsque 1x1 tend vers +m.
3) Nous avons vu qu'on a sin2 x < sin x lorsque x tend vers + CO, mais on n'a
pas sin2x == sin x, bien que ces deux fonctions s'annulent aux mêmes points.
4) O n a x2 + xy + y2 =< x2 + y2 lorsque (x, y) tend vers (O, O) dans W2, mais
non xy k: x2 + y2.
Il résulte aussitôt de la prop. 3 de V, p. 3, que si f,, f2, p.,, g, sont des fonctions
de X(3, K) (K corps valué quelconque), les relations f, x g, et f2 =: g2 entraînent f, f, == g,g2.
O n notera par contre que lcs relations f l h g,, f , ~
g, n'entraînent pas
f i + y 2 h gl + g2, comme le montre l'exemple où f,(x) = gl(x) = x2, f 2 ( x ) =
- (x2 + x ) , g2(x) = - (x2 - l), .X réel tendant vers + co.
Les relations de comparaison f ,< g, f x g sont dites relations faibles. On dit
que deux fonctions f, g de A?($, V) sont faiblement conzparables si elles vérifient
lbne (au moins) des deux relations f ,< g, g < f.
Remarques. - 1 ) Dcux fonctions dc Z ( 8 , W) nc sont pas nécessairement faiblement
comparables, commc le montre l'exemple des fonctions 1 et x sin x lorsque x tend vers
+ W .
2) Désignons par Rn la relation f x g dans ( 2 8 , V), et par Sn(%, V) l'ensemble
quotient 2($, V ) / R o ; on notera que la relation R, entraîne R,. Par passage au
quotient, la relation f < g donne, d'après la prop. 1 de V, p. 3, une relation d'ordre dans
;/Po@, V ) (E, III, p. 3 ) ; l'exemple qui précède prouve que ZO(& V ) n'est pas totalement ordonné par cette relation.