No 1
COMPARAISON DES PONCTIONS
F V R V 3
définie $1. Par exemple, f + g est la fonction égale à f ( t ) 3. g ( t ) en tout point t E E où
f et g sont toutes deux définies. O n observera que l'application (f, g ) » f + g n'est
pas une loi degroufie dans &' (g, V ) , car si f n'est pas définie dans E tout entier, il n'existe
pas de fonction g E %(8, V ) telle que f + g = O.
DÉPINITION 1. - Etant données deux fonctio~zs numériques f, g appartenant à p ( 8 , a)
et qui sont 2 O dam un ensemble de 8, on dit que f est dominée par g, ou que g domine f
(suivant g ) , et on écrit f < g OU g >f, s'il existe un ensemble X E 8 et un nombre k > O
tels que f ( t ) < k.g(t) pour tout t E X (autrement dit, s'il existe k > O tel que
f < k.2).
Étant données deux espaces normés V,, V,, et deux fonctions f,, f, appartenant
respectivement à i f ( $ , V,) et S ( 8 , V,) on dit que f, est dominée par f, (suivant 8) et on
écrit fl < & o u f , > f, si on a llflll $ l/f211.
La relation fl + f 2 est évidemment de caractère local en fl et f,; elle est donc
équivalente à la relation f, < f 2 qui s'en déduit par passage aux quotients. Lorsque
f et g sont deux fonctions numériques, on aura soin de ne pas confondre les relations
J < g e t f < g.
On notera que pour tout scalaire A # O, la relation f1 < f2A est équivalente à
fl < f,. Si f, < f,, il existe un ensemble X E 8 tel que, pour tout point x E X où
f,(x) = O, on ait f1 ( x ) = 0.
Exemples. - 1 ) La relation 6 < 1 signifie que f est bornée dans un ensemble de 5.
2) Pour toute fonction f de %(8, V ) et tout scalaire A f O, on a f 4 fA.
3) Lorsque x tend vers + co, on a sin2 x $ sin x.
4) Lorsque (x, y ) tend vers (0, O ) dans R2, on a
xy 5 xZ + y2.
Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de la déf. 1:
PROPOSITION 1. - Si f, g, h sont trois fonctions de %'(?j, Pi), les relations f < g et
g < h entratnent f < h.
PROPOSITION 2. - Soient f,, f, deuxfonctions de i f ( & V ) et g une fonction de i i ( 8 , R).
Les relations f1 < g et f, < g entrainent f, f f, < g.
En outre :
PROPOSITION 3. -Soient V I , V 2 , V trois espaces normés sur un même corps valué,
(x, y ) » [x. y ] une application bilinéaire continue de V , x V , dans V . Si f, et f2 sont
des fonctions de .%(8, V I ) et S ( 5 , V2) respectivement, gl, g2 deux fonctions de Z ( 8 , W)
telles que f1 < g, et f, , i g2, on a [ f l .f2]
IIfl .filIl a IlfiIl li%ll' En particulier, dans toute la suite, pour une fonction f de Yi(%, V), nous désignerons par llf 1 1
la fonction t~ /If ( t ) 11, appartenant à 9 ( 5 , R) et définie dans le même ensemble que f : nous signalons expressément que, dans ce chapitre, Ilf I I est une fonction et non un nombre.
COMPARAISON DES PONCTIONS
F V R V 3
définie $1. Par exemple, f + g est la fonction égale à f ( t ) 3. g ( t ) en tout point t E E où
f et g sont toutes deux définies. O n observera que l'application (f, g ) » f + g n'est
pas une loi degroufie dans &' (g, V ) , car si f n'est pas définie dans E tout entier, il n'existe
pas de fonction g E %(8, V ) telle que f + g = O.
DÉPINITION 1. - Etant données deux fonctio~zs numériques f, g appartenant à p ( 8 , a)
et qui sont 2 O dam un ensemble de 8, on dit que f est dominée par g, ou que g domine f
(suivant g ) , et on écrit f < g OU g >f, s'il existe un ensemble X E 8 et un nombre k > O
tels que f ( t ) < k.g(t) pour tout t E X (autrement dit, s'il existe k > O tel que
f < k.2).
Étant données deux espaces normés V,, V,, et deux fonctions f,, f, appartenant
respectivement à i f ( $ , V,) et S ( 8 , V,) on dit que f, est dominée par f, (suivant 8) et on
écrit fl < & o u f , > f, si on a llflll $ l/f211.
La relation fl + f 2 est évidemment de caractère local en fl et f,; elle est donc
équivalente à la relation f, < f 2 qui s'en déduit par passage aux quotients. Lorsque
f et g sont deux fonctions numériques, on aura soin de ne pas confondre les relations
J < g e t f < g.
On notera que pour tout scalaire A # O, la relation f1 < f2A est équivalente à
fl < f,. Si f, < f,, il existe un ensemble X E 8 tel que, pour tout point x E X où
f,(x) = O, on ait f1 ( x ) = 0.
Exemples. - 1 ) La relation 6 < 1 signifie que f est bornée dans un ensemble de 5.
2) Pour toute fonction f de %(8, V ) et tout scalaire A f O, on a f 4 fA.
3) Lorsque x tend vers + co, on a sin2 x $ sin x.
4) Lorsque (x, y ) tend vers (0, O ) dans R2, on a
xy 5 xZ + y2.
Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de la déf. 1:
PROPOSITION 1. - Si f, g, h sont trois fonctions de %'(?j, Pi), les relations f < g et
g < h entratnent f < h.
PROPOSITION 2. - Soient f,, f, deuxfonctions de i f ( & V ) et g une fonction de i i ( 8 , R).
Les relations f1 < g et f, < g entrainent f, f f, < g.
En outre :
PROPOSITION 3. -Soient V I , V 2 , V trois espaces normés sur un même corps valué,
(x, y ) » [x. y ] une application bilinéaire continue de V , x V , dans V . Si f, et f2 sont
des fonctions de .%(8, V I ) et S ( 5 , V2) respectivement, gl, g2 deux fonctions de Z ( 8 , W)
telles que f1 < g, et f, , i g2, on a [ f l .f2]
IIfl .filIl a IlfiIl li%ll' En particulier, dans toute la suite, pour une fonction f de Yi(%, V), nous désignerons par llf 1 1
la fonction t~ /If ( t ) 11, appartenant à 9 ( 5 , R) et définie dans le même ensemble que f : nous signalons expressément que, dans ce chapitre, Ilf I I est une fonction et non un nombre.