FVR V.2
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
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1. Relations de comparaison: 1. Relations faibles
Nous désignerons dans ce qui suit par V un espace vectoriel normé sur un corps
valué Ky par %($, V) l'ensemble des fonctions à valeurs dans V, dont chacune
est définie dans une partie de E appartenant à la base de filtre 8. Les relations
que nous allons définir entre de telles fonctions ont un caractère local relatif au
filtre de base 8 : nous allons préciser ce qu'il faut entendre par là. Si f et g sont
deux fonctions de %($, V), rappelons que la relation a il existe un ensemble
Z E 5 tel que f et g soient définies et égales dans Z , est une relation d'équivalence
R, dans S ( $ , V) (TG, 1, p. 44). Cela étant, nous dirons qu'une relation S où
figure une fonction f de %(a, V) est de caractère local (suivant 8) relativement à
f, si elle est compatible (en f ) avec la relation d'équivalence R, (E, II, p. 42) ;
on sait que, si f est le germe de f suivant 8, classe de f modulo R, (élément de
l'ensemble quotient Sm($, V) = A?($, V)/R,), on déduit de S, par passage au
quotient, une relation entre f e t les autres arguments de S, et que réciproquement,
toute relation de cette nature définit une relation de caractère local relativement à
f.
Exemple. -Si f et g sont deux fonctions de %(g, R), la relation G il existe un
ensemble X E 8 tel que f et g soient définies dans X, et que f (t) < g(t) pour tout
t E X H est de caractère local relativement à f et g. On notef < g la relation obtenue en passant au quotient (pour f et g) ; on remarquera que si f < g, il existe
une fonction f, E f et une fonction g, E g, définies dans E tout entier, et telles que
fi (t) < g, (t) pour tout t E E.
Remarques. - 1) Soient VI (1 i n) n espaces vectoriels normés sur K, y, une
fonction définie dans V, x V2 x .. x V,, à valeurs dans V par passage aux quotients suivant R,, la fonction cp définit donc une application de
Ha($, VI) x ... x Yi", (8, Vn)
dans
(8, V), que l'on notera le plus souvent cp($l, . . ., Zn) (TG, 1 xh, p. 45). Par
exemple en prenant pour y, les applications (x, y) H x + y et x H xh (A E K), on
définit ainsi, pour deux germes quelconques f, de H, (8, V), les éléments fF + et f h
et on vérifie aussitôt que les lois de composition ($, 2) H P. + g et (A, f) H f h définissent sur Hm($, V) une structure d' espace vectoriel sur le corps K; dans cet espace, 6
est la classe formée des fonctions égales à O dans un ensemble de 8, et - â est la classe
formée des fonctions égales à - f dans un ensemble de 5. De même, si V est une algèbre
sur K, on définit sur Yim (9, V) une seconde loi de composition interne (g, g) - & en
prenant cp(x, y) = xy; avec les deux lois précédentes, elle définit sur H m ( g , V) une
structure d' algèbre sur le corps K; si V admet un élément unité e, Hm (8, V) admettra
pour élément unité la classe ë, formée des fonctions égales à e dans un ensemble de $;
pour que f soit inversible dans e m ( $ , V), il faut et il suffit que, pour une fonction
f E i, il existe Z E $ tel que f (t) soit inversible dans V pour tout t E Z (auquel cas
cette condition est vérifiée pour toute fonction de la classez).
n
2) Avec les mêmes notations, soit + une application d'une partie de VI dans V;
i = l
nous désignerons par $(&, f,, . . ., fn) la fonction égale à $(f,(t), . . ., f,(t)) en tout
point t E E où les fl(t) sont définis et où le point (f,(t)) appartient à l'ensemble où est