CHAPïïRE V
Etude locale des fonctions
5 1. COMPARAISON DES FONCTIONS DANS UN
ENSEMBLE FILTRÉ
Soit E un ensemble, filtré par un filtre de base 8 (TG, 1, p. 36) ; dans ce chapitre,
nous considérerons des fonctions dont l'ensemble de définition est une partie de E
appartenant à la base de filtre 8 (partie dépendant de la fonction considérée)
et qui prennent leurs valeurs, soit dans le corps R des nombres réels, soit plus
généralement dans un espace vectoriel normé sur un corps valué (TG, IX, p. 32).
Dans les applications, E sera le plus souvent une partie d'un espace numérique
Rn, ou de la droite achevée 6, et 8 la trace sur E du filtre des voisinages d'un point
adhérent à E, ou encore le filtre des complémentaires des ensembles relativement
compacts dans E (<( voisinages du point à l'infini >>).
Il ne suffira pas en général de savoir qu'une telle fonction tend vers une limite
donnée suivant $ pour pouvoir traiter tous les problèmes de (< passage à la limite
suivant 8 D où interviennent des expressions formées avec cette fonction.
Par exemple, lorsque la variable réelle x tend vers +a, les trois fonctions x, x2
et 4; tendant toutes trois vers + co, mais, des expressions.
(X + 1)2 - x2, (X + 1) - x, d
m d i
la première tend vers + co, la seconde vers 1, la troisième vers O.
Il importe donc de connaître, non seulement la valeur limite d'une fonction
suivant 8 (lorsque cette limite existe), mais encore la (< manière D dont la fonction
tend vers sa limite; en d'autres termes, on est amené à opérer une classification
dans l'ensemble des fonctions qui tendent vers une même limite.