FVR V.54
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
d) Pour nz = Zr, montrer qu'on a
où on a posé a(n + 1) - a(n) = 1 - A(n + 1) pour tout n (utiliser 6 ) et la relation
m - 1
a(Zk + r) = a(r) + 1 pour r < 2k). Montrer que 2 (" l) A ( j + 1) a r2m-2 (rei = O
\
O
,
marquer que A(j + 1) = O si j est pair, et A ( j + 1) < logjllog 2 pour toutj). En déduire à
l'aide de c), qu'on a
3
3 zm log log zm
A2(2m) 2 - rZm-l > -.
2
'2
2log2
Conclure de c) et de cette relation que Az(n) n'est dquivalente à aucune fonction (H) lorsque n
tend vers + co .
13) Soit f une fonction (H) telle que 1 « f (x) « x. Montrer que, dans la formule de Taylor
avec O < 0 < 1 (1, p. 47, exerc. 9), chaque terme est négligeable devant le précédent. Si f est
d'ordre < 1 par rapport à x, le dernier terme de cette somme tend vers O avec llx dès que n
est assez grand.
14) Déduire de l'exerc. 13 que si f est une fonction (H), telle que log f (ex) soit d'ordre < 1
par rapport à x, la fonction f (xf (x)) est équivalente à une fonction de la forme eqcX), où g
est une fonction rationnelle par rapport à x, log f (x) et un certain nombre de dérivées de
cette dernière fonction.
7 15) Soit f une fonction (H) convexe au voisinage de +a, telle que f (x) )5 x. Pour tout
a > O, soit x, le point tel que f ' ( x , ) = (1 + a) f'(x).
a) Si f est d'ordre $ co par rapport à x, montrer que l'on a
(utiliser les prop. 2 (V, p. 40) et 4 (V, p. 44), en appliquant la formule de Taylor à
log ff(x)). Montrer que (f ( x ) , - (x, - x) f'(x,))/ f (x) tend vers (1 + a ) ( l - log(1 + a))
lorsque x tend vers + m.
b) Si f est d'ordre r > 1 par rapport à x, montrer que
(remarquer que si fl est d'ordre O par rapport à x, on a fl(kx) - fl(x) pour toute constantek,
en vertu de la prop. 4 de V, p. 40). En déduire que (f (x,) - (x, - x) f'(x,))/ f (x) tend vers
r(1 + a) - (r - 1)(1 + a)T/'T-l)
lorsque x tend vers + m.
c) On suppose enfin que f soit d'ordre 1 par rapport à x. En posant f (x) = xfl(x), montrer
que
(considérer la fonction réciproque de fl, qui est d'ordre + co par rapport à x). En déduire que
(f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers - co lorsque x tend vers + m .
Soit de même xk le point tel que f ' ( x a ) = (1 - a) f'(x) (pour O < a < 1). Donner les
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
d) Pour nz = Zr, montrer qu'on a
où on a posé a(n + 1) - a(n) = 1 - A(n + 1) pour tout n (utiliser 6 ) et la relation
m - 1
a(Zk + r) = a(r) + 1 pour r < 2k). Montrer que 2 (" l) A ( j + 1) a r2m-2 (rei = O
\
O
,
marquer que A(j + 1) = O si j est pair, et A ( j + 1) < logjllog 2 pour toutj). En déduire à
l'aide de c), qu'on a
3
3 zm log log zm
A2(2m) 2 - rZm-l > -.
2
'2
2log2
Conclure de c) et de cette relation que Az(n) n'est dquivalente à aucune fonction (H) lorsque n
tend vers + co .
13) Soit f une fonction (H) telle que 1 « f (x) « x. Montrer que, dans la formule de Taylor
avec O < 0 < 1 (1, p. 47, exerc. 9), chaque terme est négligeable devant le précédent. Si f est
d'ordre < 1 par rapport à x, le dernier terme de cette somme tend vers O avec llx dès que n
est assez grand.
14) Déduire de l'exerc. 13 que si f est une fonction (H), telle que log f (ex) soit d'ordre < 1
par rapport à x, la fonction f (xf (x)) est équivalente à une fonction de la forme eqcX), où g
est une fonction rationnelle par rapport à x, log f (x) et un certain nombre de dérivées de
cette dernière fonction.
7 15) Soit f une fonction (H) convexe au voisinage de +a, telle que f (x) )5 x. Pour tout
a > O, soit x, le point tel que f ' ( x , ) = (1 + a) f'(x).
a) Si f est d'ordre $ co par rapport à x, montrer que l'on a
(utiliser les prop. 2 (V, p. 40) et 4 (V, p. 44), en appliquant la formule de Taylor à
log ff(x)). Montrer que (f ( x ) , - (x, - x) f'(x,))/ f (x) tend vers (1 + a ) ( l - log(1 + a))
lorsque x tend vers + m.
b) Si f est d'ordre r > 1 par rapport à x, montrer que
(remarquer que si fl est d'ordre O par rapport à x, on a fl(kx) - fl(x) pour toute constantek,
en vertu de la prop. 4 de V, p. 40). En déduire que (f (x,) - (x, - x) f'(x,))/ f (x) tend vers
r(1 + a) - (r - 1)(1 + a)T/'T-l)
lorsque x tend vers + m.
c) On suppose enfin que f soit d'ordre 1 par rapport à x. En posant f (x) = xfl(x), montrer
que
(considérer la fonction réciproque de fl, qui est d'ordre + co par rapport à x). En déduire que
(f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers - co lorsque x tend vers + m .
Soit de même xk le point tel que f ' ( x a ) = (1 - a) f'(x) (pour O < a < 1). Donner les