NOTE HISTORIQUE
(N.-B. -Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de
cette note.)
Comme on l'a vu (Note historique des chap. 1-11-111)) les problèmes conduisant
à l'intégration d'équations différentielles ont été parmi les premiers de ceux
qu'ont considérés les fondâteurs du Calcul infinitésimal au X V I I ~ siècle (notamment
Descartes et Barrow). La théorie des équations différentielles n'a cessé depuis lors
d'exercer la sagacité des mathématiciens, et d'être un terrain de prédilection pour
l'application des méthodes les plus variées de l'Analyse; les questions qu'elle
soulève sont très loin d'être toutes résolues, et l'intérêt qui s'y attache est d'autant
plus soutenu qu'elle constitue un des points de contact les plus permanents et les
plus fructueux entre les mathématiques et les sciences expérimentales: ces dernières y trouvent souvent une aide précieuse, et en échange lui fournissent constamment de nouveaux problèmes.
Des nombreux chapitres que devrait comporter une étude moderne et complète des équations différentielles, nous n'avons voulu exposer ici que deux des
plus élémentaires, traitant des théorèmes d'existence et des équations linéaires, la
variable étant supposée réelle. C'est donc aussi à ces deux aspects que nous
limiterons notre bref exposé historique. Dès le début du XVIII~ siècle, les mathématiciens s'étaient convaincus que l'intégrale ((générale a d'une équation différentielle d'ordre n dépend de n constantes arbitraires, et qu' (< en général », il
existe une intégrale et une seule prenant des valeurs données ainsi que ses n - 1
premières dérivées pour une valeur donnée x, de la variable: conviction qu'ils
justifiaient par le procédé (remontant à Newton) qui consiste à calculer de proche
en proche les coefficients du développement de Taylor de la solution au point
x,, à l'aide de l'équation différentielle elle-même et des n premiers coefficients.
Mais jusqu'à Cauchy, personne n'avait étudié la convergence de la série ainsi
obtenue, ni démontré que sa somme était solution de l'équation différentielle; et
bien entendu, il n'était question que d'équations différentielles analytiques.
Parmi les diverses méthodes imaginées par Cauchy pour démontrer l'existence
des intégrales des équations différentielles, celle que nous avons suivie ((IV) et
(IV bis)), généralisée un peu plus tard par Lipschitz, est particulièrement intéressante pour le cas des équations non analytiques et pour l'approximation des
intégrales.
Les équations différentielles linéaires ont été parmi les premières à attirer
l'attention. Leibniz et Jakob Bernoulli intègrent l'équation linéaire du premier
ordre par deux quadratures ((1)' t. II, p. 731) ; l'intégrale générale de l'équation
(N.-B. -Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de
cette note.)
Comme on l'a vu (Note historique des chap. 1-11-111)) les problèmes conduisant
à l'intégration d'équations différentielles ont été parmi les premiers de ceux
qu'ont considérés les fondâteurs du Calcul infinitésimal au X V I I ~ siècle (notamment
Descartes et Barrow). La théorie des équations différentielles n'a cessé depuis lors
d'exercer la sagacité des mathématiciens, et d'être un terrain de prédilection pour
l'application des méthodes les plus variées de l'Analyse; les questions qu'elle
soulève sont très loin d'être toutes résolues, et l'intérêt qui s'y attache est d'autant
plus soutenu qu'elle constitue un des points de contact les plus permanents et les
plus fructueux entre les mathématiques et les sciences expérimentales: ces dernières y trouvent souvent une aide précieuse, et en échange lui fournissent constamment de nouveaux problèmes.
Des nombreux chapitres que devrait comporter une étude moderne et complète des équations différentielles, nous n'avons voulu exposer ici que deux des
plus élémentaires, traitant des théorèmes d'existence et des équations linéaires, la
variable étant supposée réelle. C'est donc aussi à ces deux aspects que nous
limiterons notre bref exposé historique. Dès le début du XVIII~ siècle, les mathématiciens s'étaient convaincus que l'intégrale ((générale a d'une équation différentielle d'ordre n dépend de n constantes arbitraires, et qu' (< en général », il
existe une intégrale et une seule prenant des valeurs données ainsi que ses n - 1
premières dérivées pour une valeur donnée x, de la variable: conviction qu'ils
justifiaient par le procédé (remontant à Newton) qui consiste à calculer de proche
en proche les coefficients du développement de Taylor de la solution au point
x,, à l'aide de l'équation différentielle elle-même et des n premiers coefficients.
Mais jusqu'à Cauchy, personne n'avait étudié la convergence de la série ainsi
obtenue, ni démontré que sa somme était solution de l'équation différentielle; et
bien entendu, il n'était question que d'équations différentielles analytiques.
Parmi les diverses méthodes imaginées par Cauchy pour démontrer l'existence
des intégrales des équations différentielles, celle que nous avons suivie ((IV) et
(IV bis)), généralisée un peu plus tard par Lipschitz, est particulièrement intéressante pour le cas des équations non analytiques et pour l'approximation des
intégrales.
Les équations différentielles linéaires ont été parmi les premières à attirer
l'attention. Leibniz et Jakob Bernoulli intègrent l'équation linéaire du premier
ordre par deux quadratures ((1)' t. II, p. 731) ; l'intégrale générale de l'équation